Zbrajanje vektora
Procijeni
Istraži
Pomičući krajnje točke vektora mijenjaj kako Anai i Borna vuku košaru. Promatraj kako se košara pomiče.
Nauči
Ovdje se radi o zbrajanju vektora. Rezultat istodobnog djelovanja ovih dviju sila jednak je kao da je prvi košaru povukao Borna, a nakon tog Anai. Grafički, vektore možemo ulančati - odabrati usmjerene dužine tako da se kraj prvog vektora podudara s početkom drugog vektora.
Zbroj dvaju ulančanih vektora je vektor koji spaja početnu točku prvog vektora s krajnjom točkom drugog vektora.
Pogledajte postupak zbrajanja ulančanih vektora. Vektore [latex]\vec{\mathit{a}}[/latex] i [latex]\vec{\mathit{b}}[/latex] možete mijenjati pomicanjem njihovih početnih i/ili krajnjih točaka.
Ovo pravilo zove se pravilo trokuta.
Lako ga je poopćiti na zbroj više od dva ulančana vektora. Njihov zbroj bit će vektor koji spaja početnu točku prvog i krajnju točku zadnjeg vektora u lancu.
Zadatak 1.
Točke A, B, C i D vrhovi su kvadrata stranice duljine 1.
(Napomene:
Rješenje upiši bez strelice, primjerice za odgovor [latex]\mathit{\overrightarrow{BC}}[/latex] upiši BC.
Ako vektori nisu ulančani, odaberemo usmjerene dužine koje predstavljaju iste vektore, a ulančane su.)
Zadatak 2.
Točke A, B, C, D, E i F vrhovi su pravilnog šesterokuta stranice duljine 1. Točka S središte je šesterokuta.
(Napomene:
Rješenje upiši bez strelice, primjerice za odgovor [latex]\mathit{\overrightarrow{BC}}[/latex] upiši BC.
Ako vektori nisu ulančani, odaberemo usmjerene dužine koje predstavljaju iste vektore, a ulančane su.)
Ponovi i provjeri
Provjerite vrijedi li komutativnost zbrajanja vektora. Vektore [latex]\vec{\mathit{a}}[/latex] i [latex]\vec{\mathit{b}}[/latex] možete mijenjati pomicanjem njihovih početnih i/ili krajnjih točaka.
Provjerite vrijedi li asocijativnost zbrajanja vektora. Vektore [latex]\vec{\mathit{a}}[/latex], [latex]\vec{\mathit{b}}[/latex] i [latex]\vec{\mathit{c}}[/latex] možete mijenjati pomicanjem njihovih početnih i/ili krajnjih točaka.
Pokušaj nadopuniti sljedeće rečenice.
Svojstva zbrajanja vektora
KOMUTATIVNOST
Za bilo koja dva vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex] vrijedi [latex]\mathit{\vec{a}}+\mathit{\vec{b}}=\mathit{\vec{b}}+\mathit{\vec{a.}}[/latex]
ASOCIJATIVNOST
Za bilo koja tri vektora [latex]\mathit{\vec{a,}}[/latex] [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{c}}[/latex] vrijedi
[latex](\mathit{\vec{a}}+\mathit{\vec{b}})+\mathit{\vec{c}}=\mathit{\vec{a}}+(\mathit{\vec{b}}+\mathit{\vec{c}}).[/latex]
NEUTRALNI ELEMENT
Za svaki vektor [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] vrijedi [latex]\mathit{\vec{a}}+\vec{0}=\vec{0}+\mathit{\vec{a}}=\mathit{\vec{a.}}[/latex]
SUPROTNI ELEMENT
Za svaki vektor [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] vrijedi [latex]\mathit{\vec{a}}+(-\mathit{\vec{a}})=\vec{0.}[/latex]
Oduzimanje vektora
Oduzeti vektor znači pribrojiti njemu suprotan vektor.
[latex]\mathit{\vec{a}}-\mathit{\vec{b}}=\mathit{\vec{a}}+(-\mathit{\vec{b}})[/latex]
Zadatak 3.
Točke A, B, C i D vrhovi su kvadrata stranice duljine 1.
(Napomene:
Rješenje upiši bez strelice, primjerice za odgovor [latex]\mathit{\overrightarrow{BC}}[/latex] upiši BC.
Ako vektori nisu ulančani, odaberemo usmjerene dužine koje predstavljaju iste vektore, a ulančane su.)
Zadatak 4.
Točke A, B, C, D, E i F vrhovi su pravilnog šesterokuta stranice duljine 1. Točka S središte je šesterokuta.
(Napomene:
Rješenje upiši bez strelice, primjerice za odgovor [latex]\mathit{\overrightarrow{BC}}[/latex] upiši BC.
Ako vektori nisu ulančani, odaberemo usmjerene dužine koje predstavljaju iste vektore, a ulančane su.)
Pravilo paralelograma
Dan je paralelogram ABCD. Prikažimo vektore [latex]\mathit{\overrightarrow{AC}}[/latex] i [latex]\mathit{\overrightarrow{DB}}[/latex] pomoću vektora [latex]\mathit{\vec{a}=\overrightarrow{AB}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}=\overrightarrow{AD}}[/latex].
[latex]\mathit{\overrightarrow{AC}}=\mathit{\overrightarrow{AB}}+\mathit{\overrightarrow{BC}}[/latex]
[latex]=\mathit{\overrightarrow{AB}}+\mathit{\overrightarrow{AD}}[/latex]
[latex]=\mathit{\vec{a}}+\mathit{\vec{b}}[/latex]
[latex]\mathit{\overrightarrow{DB}}=\mathit{\overrightarrow{DA}}+\mathit{\overrightarrow{AB}}[/latex]
[latex]=-\mathit{\overrightarrow{AD}}+\mathit{\overrightarrow{AB}}[/latex]
[latex]=-\mathit{\vec{b}}+\mathit{\vec{a}}=\mathit{\vec{a}}-\mathit{\vec{b}}[/latex]
Zbroj dvaju vektora koji imaju isti početak usmjerena je dijagonala paralelograma određenog tim vektorima koja ima početak u istoj točki kao i ti vektori.
Razlika dvaju vektora koji imaju isti početak usmjerena je dijagonala paralelograma određenog tim vektorima koja ima početak u kraju vektora koji se oduzima.
Zadatak 5.
Zrakoplov leti prema sjeveru svojom brzinom od 400 km/h dok puše zapadni vjetar brzine 60 km/h. Odredi rezultantnu brzinu zrakoplova. Pod kojim kutom u odnosu na smjer sjevera leti zrakoplov?
Skicirajmo problem.
Vektor [latex]\mathit{\overrightarrow{AD}}[/latex] označava kako bi se avion gibao da nema vjetra - leti prema sjeveru, brzinom 400 km/h.
Vektor [latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}[/latex] označava vjetar - puše iz smjera zapada, brzinom 60 km/h.
Zbrojimo li vektore [latex]\mathit{\overrightarrow{AD}}[/latex] i [latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}[/latex], saznat ćemo kako se avion giba.
Iz pravokutnoga trokuta ACD lako se odredi duljina vektora [latex]\mathit{\overrightarrow{AC}}[/latex]:
[latex]|\mathit{\overrightarrow{AC}}|=\sqrt{|\mathit{\overrightarrow{DC}}|^2+|\mathit{\overrightarrow{AD}}|^2}[/latex]
[latex]=\sqrt{60^2+400^2}\approx404.5[/latex]
Rezultantna brzina zrakoplova je
404.5 km/h.
Iz trokuta ACD možemo odrediti i traženi kut:
[latex]tg\angle\mathit{DAC}=\frac{|\mathit{\overrightarrow{DC}}|}{|\mathit{\overrightarrow{AD}}|}=\frac{60}{400}=0.15[/latex]
[latex]\angle\mathit{DAC}\approx8.53^\circ[/latex]
Zrakoplov leti pod kutom od 8°32' u odnosu na smjer sjevera.