Množenje vektora realnim brojem
Procijeni
Istraži
Provjeri svoja razmišljanja. Pomičući klizač mijenjaj realni broj [latex]\mathit{k}[/latex]. Kako on utječe na [latex]\mathit{k\cdot\vec{a}}[/latex]? Mijenjaj vektor [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] pomičući njegovu početnu i/ili krajnju točku.
Nauči
Umnožak vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i realnog broja k jest vektor [latex]\mathit{k\cdot\vec{a}}[/latex] za koji vrijedi:
1) Duljina mu je jednaka umnošku apsolutne vrijednosti broja k i duljine vektora [latex]\mathit{\vec{a}},[/latex] tj.
[latex]|\mathit{k\cdot\vec{a}}|=|\mathit{k}|\cdot|\mathit{\vec{a}}|.[/latex]
2) Za k > 0 orijentacija mu je jednaka orijentaciji vektora [latex]\mathit{\vec{a}},[/latex]
a za k < 0 orijentacija mu je suprotna orijentaciji vektora [latex]\mathit{\vec{a}}.[/latex]
Konstrukcija vektora
Za zadani vektor [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] konstruiraj vektor [latex]\frac{3}{5}\mathit{\vec{a}}[/latex].
Vektor [latex]\frac{3}{5}\mathit{\vec{a}}[/latex] ima duljinu [latex]\frac{3}{5}|\mathit{\vec{a}}|[/latex] i orijentacija mu je jednaka orijentaciji vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex].
Potrebno je vektor podijeliti na pet jednakih dijelova. Za to ćemo se koristiti Talesovim poučkom.
Za zadani vektor [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] konstruiraj vektor [latex]-\frac{5}{3}\mathit{\vec{a}}[/latex].
Vektor [latex]-\frac{5}{3}\mathit{\vec{a}}[/latex] ima duljinu [latex]\frac{5}{3}|\mathit{\vec{a}}|[/latex] i orijentacija mu je suprotna orijentaciji vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex].
Potrebno je vektor podijeliti na tri jednaka dijela. Za to ćemo se koristiti Talesovim poučkom.
Zadatak 1.
Koje su od danih izjava točne ako su A, B i C točke na brojevnome pravcu s koordinatama A(0), B(1) i C(3).
Zadatak 2.
Duljina vektora [latex]\vec{a}[/latex] je 4.
Računanje s vektorima
S vektorima računamo koristeći se istim pravilima koja vrijede za računanje s realnim brojevima. Za bilo koje vektore [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex] i bilo koje realne brojeve k i l vrijedi:
[latex]1\cdot \mathit{\vec{a}}=\mathit{\vec{a}}[/latex]
[latex]0\cdot \mathit{\vec{a}}=0[/latex]
[latex]\mathit{k(l\vec{a}})=(\mathit{kl})\mathit{\vec{a}}[/latex]
[latex](\mathit{k}+\mathit{l})\mathit{\vec{a}}=\mathit{k}\mathit{\vec{a}}+\mathit{l}\mathit{\vec{a}}[/latex]
[latex]\mathit{k(\vec{a}+\vec{b}})=\mathit{k}\mathit{\vec{a}}+\mathit{k}\mathit{\vec{b}}[/latex]
Zadatak 3.
Pojednostavni: [latex]3(\mathit{\vec{a}}-\mathit{\vec{b}})+\mathit{\vec{b}}-(2\mathit{\vec{b}}+\mathit{\vec{a}})[/latex]
[latex]=3\mathit{\vec{a}}-3\mathit{\vec{b}}+\mathit{\vec{b}}-2\mathit{\vec{b}}-\mathit{\vec{a}}[/latex]
[latex]=2\mathit{\vec{a}}-4\mathit{\vec{b}}[/latex]
Zadatak 4.
Zadatak 5.
Izrazi vektor [latex]\mathit{\vec{x}}[/latex] iz jednakosti: [latex]\mathit{\vec{a}}-2\mathit{\vec{b}}+\mathit{\vec{x}}=2\mathit{\vec{b}}+3\mathit{\vec{x}}[/latex]
[latex]\mathit{\vec{x}}-3\mathit{\vec{x}}=-\mathit{\vec{a}}+2\mathit{\vec{b}}+2\mathit{\vec{b}}[/latex]
[latex]-2\mathit{\vec{x}}=-\mathit{\vec{a}}+4\mathit{\vec{b}}[/latex]
[latex]\mathit{\vec{x}}=\frac{1}{2}\mathit{\vec{a}}-2\mathit{\vec{b}}[/latex]