Množenje vektora realnim brojem

Zadatak 1.

Istraži

Provjeri svoja razmišljanja. Pomičući klizač mijenjaj realni broj [latex]\mathit{k}[/latex]. Kako on utječe na [latex]\mathit{k\cdot\vec{a}}[/latex]? Mijenjaj vektor [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] pomičući njegovu početnu i/ili krajnju točku.

Nauči

Umnožak vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i realnog broja k jest vektor [latex]\mathit{k\cdot\vec{a}}[/latex] za koji vrijedi:

 1) Duljina mu je jednaka umnošku apsolutne vrijednosti broja k i duljine vektora [latex]\mathit{\vec{a}},[/latex] tj.
[latex]|\mathit{k\cdot\vec{a}}|=|\mathit{k}|\cdot|\mathit{\vec{a}}|.[/latex]

2) Za k > 0 orijentacija mu je jednaka orijentaciji vektora [latex]\mathit{\vec{a}},[/latex]
a za k < 0 orijentacija mu je suprotna orijentaciji vektora [latex]\mathit{\vec{a}}.[/latex]

Konstrukcija vektora.

Za zadani vektor [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex]  konstruiraj vektor [latex]\frac{3}{5}\mathit{\vec{a}}[/latex].

Vektor [latex]\frac{3}{5}\mathit{\vec{a}}[/latex] ima duljinu [latex]\frac{3}{5}|\mathit{\vec{a}}|[/latex] i orijentacija mu je jednaka orijentaciji vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex].

Potrebno je vektor podijeliti na pet jednakih dijelova. Za to ćemo se koristiti Talesovim poučkom.

Za zadani vektor [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex]  konstruiraj vektor [latex]-\frac{5}{3}\mathit{\vec{a}}[/latex].

Vektor [latex]-\frac{5}{3}\mathit{\vec{a}}[/latex] ima duljinu [latex]\frac{5}{3}|\mathit{\vec{a}}|[/latex] i orijentacija mu je suprotna orijentaciji vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex].

Potrebno je vektor podijeliti na tri jednaka dijela. Za to ćemo se koristiti Talesovim poučkom.

Zadatak 3.

Računanje s vektorima

S vektorima računamo koristeći se istim pravilima koja vrijede za računanje s realnim brojevima. Za bilo koje vektore [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex] i bilo koje realne brojeve k i l vrijedi:

[latex]1\cdot \mathit{\vec{a}}=\mathit{\vec{a}}[/latex]

[latex]0\cdot \mathit{\vec{a}}=0[/latex]

[latex]\mathit{k(l\vec{a}})=(\mathit{kl})\mathit{\vec{a}}[/latex]

[latex](\mathit{k}+\mathit{l})\mathit{\vec{a}}=\mathit{k}\mathit{\vec{a}}+\mathit{l}\mathit{\vec{a}}[/latex]

[latex]\mathit{k(\vec{a}+\vec{b}})=\mathit{k}\mathit{\vec{a}}+\mathit{k}\mathit{\vec{b}}[/latex]

Pojednostavni: [latex]3(\mathit{\vec{a}}-\mathit{\vec{b}})+\mathit{\vec{b}}-(2\mathit{\vec{b}}+\mathit{\vec{a}})[/latex]

[latex]=3\mathit{\vec{a}}-3\mathit{\vec{b}}+\mathit{\vec{b}}-2\mathit{\vec{b}}-\mathit{\vec{a}}[/latex]

[latex]=2\mathit{\vec{a}}-4\mathit{\vec{b}}[/latex]

Zadatak 5.

Izrazi vektor [latex]\mathit{\vec{x}}[/latex] iz jednakosti: [latex]\mathit{\vec{a}}-2\mathit{\vec{b}}+\mathit{\vec{x}}=2\mathit{\vec{b}}+3\mathit{\vec{x}}[/latex]

[latex]\mathit{\vec{x}}-3\mathit{\vec{x}}=-\mathit{\vec{a}}+2\mathit{\vec{b}}+2\mathit{\vec{b}}[/latex]

[latex]-2\mathit{\vec{x}}=-\mathit{\vec{a}}+4\mathit{\vec{b}}[/latex]

[latex]\mathit{\vec{x}}=\frac{1}{2}\mathit{\vec{a}}-2\mathit{\vec{b}}[/latex]

Zadatak 7.