Linearna kombinacija dvaju vektora

Uvod

Zadatak 1.

[latex]\mathit{\vec{c}=\overrightarrow{AM}}=\mathit{\overrightarrow{AD}}+\mathit{\overrightarrow{DM}}[/latex]

[latex]\mathit{\overrightarrow{AD}=\vec{b}}[/latex]

[latex]\mathit{\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\vec{a}}[/latex]

[latex]\mathit{\vec{c}=\frac{1}{2}\vec{a}}+\mathit{\vec{b}}[/latex]

Zadatak 2.

[latex]\mathit{\vec{c}=\overrightarrow{DA}}=-\mathit{\overrightarrow{AD}}=-2\mathit{\overrightarrow{AS}}[/latex]

[latex]\mathit{\overrightarrow{AS}}=\mathit{\overrightarrow{AB}}+\mathit{\overrightarrow{AF}}=\mathit{\vec{a}}+\mathit{\vec{b}}[/latex]

[latex]\mathit{\vec{c}}=-2\mathit{\vec{a}}-2\mathit{\vec{b}}[/latex]

U prethodna smo dva zadatka vektor [latex]\mathit{\vec{c}}[/latex] prikazali pomoću dvaju neparalelnih vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex].

Kažemo da je vektor [latex]\mathit{\vec{c}}[/latex] linearna kombinacija vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex] ili da je vektor [latex]\mathit{\vec{c}}[/latex] rastavljen na vektore [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex].

Nauči

Pogledaj kako se bilo koji vektor [latex]\mathit{\vec{c}}[/latex] može prikazati kao linearna kombinacija dvaju neparalelnih vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex].

Prati korake pomicanjem plavog klizača. Vektore [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex], [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{c}}[/latex] možeš mijenjati pomicanjem njihovih početnih i/ili krajnjih točaka.

Ako su zadana dva neparalelna vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex], onda se svaki vektor [latex]\mathit{\vec{c}}[/latex] ravnine može prikazati kao linearna kombinacija vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex].

[latex]\mathit{\vec{c}}=\mathit{k\vec{a}}+\mathit{l\vec{b}}[/latex]

Gdje su k i l realni brojevi.

Vektore [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex] zovemo bazom te ravnine, a uređeni par brojeva (k,l) koordinatama vektora [latex]\mathit{\vec{c}}[/latex] u toj bazi.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Točke A, B, C i D vrhovi su paralelograma, a S sjecište njegovih dijagonala.

Prikaži dane vektore u bazi [latex](\mathit{\vec{a}}[/latex],[latex]\mathit{\vec{b}})[/latex], gdje je [latex]\mathit{\vec{a}=\overrightarrow{AB}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}=\overrightarrow{AD}}[/latex]

(Napomena:

Rješenje upiši bez razmaka, primjerice (1,-2).)

Zadatak 5.

Točke A, B, C, D, E i F vrhovi su pravilnog šesterokuta, a S sjecište njegovih dijagonala.

Prikaži dane vektore u bazi [latex](\mathit{\vec{u}}[/latex],[latex]\mathit{\vec{v}})[/latex], gdje je [latex]\mathit{\vec{u}=\overrightarrow{SA}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{v}=\overrightarrow{SB}}[/latex]

(Napomena:

Rješenje upiši bez razmaka, primjerice (1,-2).)

Računanje s vektorima

Primijetimo da računanje s vektorima postaje jednostavnije koristimo li se njihovim koordinatama u zadanoj bazi.

Primjerice, neka su dani vektori [latex]\mathit{\vec{c}}=-2\mathit{\vec{a}}-2\mathit{\vec{b}}[/latex], [latex]\mathit{\vec{u}}=3\mathit{\vec{a}}-5\mathit{\vec{b}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{w}}=-\mathit{\vec{a}}+\mathit{\vec{b}}[/latex] prikazani kao linearna kombinacija neparalelnih vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex].

Odredimo vektor [latex]\mathit{\vec{c}+2\vec{u}+3\vec{w}}[/latex].

Koristeći se rastavom na vektore zadane baze.

[latex]\mathit{\vec{c}+2\vec{u}+3\vec{w}}[/latex]

[latex]=(-2\mathit{\vec{a}}-2\mathit{\vec{b}})+2(3\mathit{\vec{a}}-5\mathit{\vec{b}})+3(-\mathit{\vec{a}}+\mathit{\vec{b}})[/latex]

[latex]=-2\mathit{\vec{a}}-2\mathit{\vec{b}}+6\mathit{\vec{a}}-10\mathit{\vec{b}}-3\mathit{\vec{a}}+3\mathit{\vec{b}}[/latex]

[latex]=\mathit{\vec{a}}-9\mathit{\vec{b}}[/latex]

Koristeći se koordinatama vektora u zadanoj bazi.

[latex]\mathit{\vec{c}+2\vec{u}+3\vec{w}}[/latex]

[latex]=(-2,-2)+2\cdot(3,-5)+3\cdot(-1,1)[/latex]

[latex]=(-2+6-3,-2-10+3)[/latex]

[latex]=(1,-9)[/latex]