Prikaz vektora u koordinatnoj ravnini
Uvod
Nauči
U pravokutnom koordinatnom sustavu definiramo vektore:
[latex]\mathit{\vec{i}}[/latex] - jedinični vektor orijentiran u pozitivnom smjeru osi apscise.
[latex]\mathit{\vec{j}}[/latex] - jedinični vektor orijentiran u pozitivnom smjeru osi ordinate.
Definirani jedinični vektori [latex]\mathit{\vec{i}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{j}}[/latex] međusobno su okomiti.
Kako nisu paralelni, vektori [latex]\mathit{\vec{i}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{j}}[/latex] čine bazu ravnine.
Stoga se svaki vektor u ravnini može prikazati kao linearna kombinacija vektora [latex]\mathit{\vec{i}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{j}}[/latex], tj. pomoću koordinata u bazi [latex](\mathit{\vec{i}},\mathit{\vec{j}})[/latex].
Prouči
Pomiči točku T i pogledaj kako se određuju koordinate vektora [latex]\mathit{\overrightarrow{OT}}[/latex] u bazi [latex](\mathit{\vec{i}},\mathit{\vec{j}})[/latex] ako je O ishodište koordinatnog sustava.
Svaka točka ravnine [latex]\mathit{T}(\mathit{x_T,y_T})[/latex] ima radijvektor [latex]\mathit{\overrightarrow{OT}=x_T\vec{i}+y_T\vec{j}=(x_T,y_T)}[/latex].
Zadatak 1.
Upiši koordinate radijvektora [latex]\mathit{\overrightarrow{OT}}[/latex]. Provjeri svoje rješenje klikom na tipku "Provjeri". Generiraj novi zadatak klikom na tipku "Novi zadatak".
Koordinate vektora [latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}[/latex]
Kako odrediti koordinate vektora čiji početak nije u ishodištu?
Neka su zadane točke [latex]\mathit{A}(\mathit{x_A,y_A})[/latex] i [latex]\mathit{B}(\mathit{x_B,y_B})[/latex].
Primijetimo da vektor [latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}[/latex] možemo prikazati kao razliku vektora [latex]\mathit{\overrightarrow{OB}}[/latex] i [latex]\mathit{\overrightarrow{OA}}[/latex].
[latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}=\mathit{\overrightarrow{OB}}-\mathit{\overrightarrow{OA}}[/latex]
[latex]=(\mathit{x_B,y_B})-(\mathit{x_A,y_A})[/latex]
[latex]=(\mathit{x_B-x_A,y_B-y_A})[/latex]
[latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}=(\mathit{x_B-x_A})\mathit{\vec{i}}+(\mathit{y_B-y_A})\mathit{\vec{j}}=(\mathit{x_B-x_A,y_B-y_A})[/latex]
Zadatak 2.
Odredi koordinate vektora zadanih početnom i krajnjom točkom.
(Napomena: Rješenje upiši bez razmaka, primjerice (1,-2).)
Prisjetimo se
Položaj u ravnini ne određuje vektor, tj. ako se usmjerena dužina translatira, ona i dalje predstavlja isti vektor.
Isti vektori imaju iste koordinate.
Pomiči točke A i B i pogledaj kako se jednostavno određuju koordinate vektora [latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}[/latex] u bazi [latex](\mathit{\vec{i}},\mathit{\vec{j}})[/latex].
Zadatak 3.
Upiši koordinate vektora [latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}[/latex]. Provjeri svoje rješenje klikom na tipku "Provjeri". Generiraj novi zadatak klikom na tipku "Novi zadatak".
Duljina vektora u koordinatnoj ravnini
Ako je vektor zadan svojom početnom i krajnjom točkom, njegovu duljinu računamo kao duljinu dužine [latex]\mathit{\overline{AB}}[/latex].
[latex]|\mathit{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{(\mathit{x_B-x_A})^2+(\mathit{y_B-y_A})^2}[/latex]
Ako je vektor zadan svojim koordinatama [latex](\mathit{a_x},\mathit{a_y})[/latex] u bazi [latex](\mathit{\vec{i}},\mathit{\vec{j}})[/latex], onda formula za duljinu vektora slijedi iz Pitagorina poučka.
[latex]|\mathit{\vec{a}}|=\sqrt{\mathit{a_x}^2+\mathit{a_y}^2}[/latex]
[latex]|\mathit{\vec{a}}|=\sqrt{|\mathit{a_x\vec{i}}|^2+|\mathit{a_y\vec{j}}|^2}[/latex]
Kako je [latex]\mathit{\vec{i}}[/latex] jedinični vektor vrijedi [latex]|\mathit{a_x\vec{i}}|=|\mathit{a_x}|[/latex].
Kako je [latex]\mathit{\vec{j}}[/latex] jedinični vektor vrijedi [latex]|\mathit{a_y\vec{j}}|=|\mathit{a_y}|[/latex].
Stoga je
[latex]|\mathit{\vec{a}}|=\sqrt{|\mathit{a_x}|^2+|\mathit{a_y}|^2}[/latex]
Odnosno,
[latex]|\mathit{\vec{a}}|=\sqrt{\mathit{a_x}^2+\mathit{a_y}^2}[/latex]
Zadatak 4.
Odredi duljinu zadanoga vektora i rezultat zaokruži na dvije decimale.
(Napomena: Rješenje upiši koristeći se decimalnom točkom, primjerice 1.23)
Zadatak 5.
Upiši duljinu vektora [latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}[/latex], zaokruženu na dvije decimale. Provjeri svoje rješenje klikom na tipku "Provjeri". Generiraj novi zadatak klikom na tipku "Novi zadatak".