Prikaz vektora u koordinatnoj ravnini

Uvod

U pravokutnom koordinatnom sustavu definiramo vektore:

Definirani jedinični vektori [latex]\mathit{\vec{i}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{j}}[/latex] međusobno su okomiti.

Kako nisu paralelni, vektori [latex]\mathit{\vec{i}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{j}}[/latex] čine bazu ravnine.

Stoga se svaki vektor u ravnini može prikazati kao linearna kombinacija vektora [latex]\mathit{\vec{i}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{j}}[/latex], tj. pomoću koordinata u bazi [latex](\mathit{\vec{i}},\mathit{\vec{j}})[/latex].

Prouči

Pomiči točku T i pogledaj kako se određuju koordinate vektora [latex]\mathit{\overrightarrow{OT}}[/latex] u bazi [latex](\mathit{\vec{i}},\mathit{\vec{j}})[/latex] ako je O ishodište koordinatnog sustava.

Zadatak 1.

Upiši koordinate radijvektora [latex]\mathit{\overrightarrow{OT}}[/latex]. Provjeri svoje rješenje klikom na tipku "Provjeri". Generiraj novi zadatak klikom na tipku "Novi zadatak".

Kako odrediti koordinate vektora čiji početak nije u ishodištu?

 Neka su zadane točke [latex]\mathit{A}(\mathit{x_A,y_A})[/latex] i [latex]\mathit{B}(\mathit{x_B,y_B})[/latex].

Primijetimo da vektor [latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}[/latex] možemo prikazati kao razliku vektora [latex]\mathit{\overrightarrow{OB}}[/latex] i [latex]\mathit{\overrightarrow{OA}}[/latex].

[latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}=\mathit{\overrightarrow{OB}}-\mathit{\overrightarrow{OA}}[/latex]

[latex]=(\mathit{x_B,y_B})-(\mathit{x_A,y_A})[/latex]

[latex]=(\mathit{x_B-x_A,y_B-y_A})[/latex]

[latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}=(\mathit{x_B-x_A})\mathit{\vec{i}}+(\mathit{y_B-y_A})\mathit{\vec{j}}=(\mathit{x_B-x_A,y_B-y_A})[/latex]

Prisjetimo se

Položaj u ravnini ne određuje vektor, tj. ako se usmjerena dužina translatira, ona i dalje predstavlja isti vektor.

Isti vektori imaju iste koordinate.

Pomiči točke A i B i pogledaj kako se jednostavno određuju koordinate vektora [latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}[/latex] u bazi [latex](\mathit{\vec{i}},\mathit{\vec{j}})[/latex].

Zadatak 3.

Upiši koordinate vektora [latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}[/latex]. Provjeri svoje rješenje klikom na tipku "Provjeri". Generiraj novi zadatak klikom na tipku "Novi zadatak".

Duljina vektora u koordinatnoj ravnini

Ako je vektor zadan svojom početnom i krajnjom točkom, njegovu duljinu računamo kao duljinu dužine [latex]\mathit{\overline{AB}}[/latex].

[latex]|\mathit{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{(\mathit{x_B-x_A})^2+(\mathit{y_B-y_A})^2}[/latex]

Ako je vektor zadan svojim koordinatama [latex](\mathit{a_x},\mathit{a_y})[/latex] u bazi [latex](\mathit{\vec{i}},\mathit{\vec{j}})[/latex], onda formula za duljinu vektora slijedi iz Pitagorina poučka.

[latex]|\mathit{\vec{a}}|=\sqrt{\mathit{a_x}^2+\mathit{a_y}^2}[/latex]

[latex]|\mathit{\vec{a}}|=\sqrt{|\mathit{a_x\vec{i}}|^2+|\mathit{a_y\vec{j}}|^2}[/latex]

Kako je [latex]\mathit{\vec{i}}[/latex] jedinični vektor vrijedi [latex]|\mathit{a_x\vec{i}}|=|\mathit{a_x}|[/latex].

Kako je [latex]\mathit{\vec{j}}[/latex] jedinični vektor vrijedi [latex]|\mathit{a_y\vec{j}}|=|\mathit{a_y}|[/latex].

Stoga je

[latex]|\mathit{\vec{a}}|=\sqrt{|\mathit{a_x}|^2+|\mathit{a_y}|^2}[/latex]

Odnosno,

[latex]|\mathit{\vec{a}}|=\sqrt{\mathit{a_x}^2+\mathit{a_y}^2}[/latex]

Zadatak 5.

Upiši duljinu vektora [latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}[/latex], zaokruženu na dvije decimale. Provjeri svoje rješenje klikom na tipku "Provjeri". Generiraj novi zadatak klikom na tipku "Novi zadatak".