Mjera kuta između vektora

Kut između dva vektora koji imaju isti početak najmanji je kut za koji treba zarotirati jedan od njih da ima isti smjer kao drugi vektor.

Pogledajte kako se određuje kut između dva vektora. Vektore [latex]\vec{\mathit{a}}[/latex] i [latex]\vec{\mathit{b}}[/latex] možete mijenjati pomicanjem njihovih krajnjih točaka.

Zadatak 1.

Točke A, B, C, D, E i F vrhovi su pravilnog šestrokuta stranice duljine 5. Točka S središte je šesterokuta.

(Napomena:

Ako vektori nemaju isti početak, odaberemo usmjerene dužine koje predstavljaju iste vektore, a imaju istu početnu točku.)

Zadatak 2.

Točke A, B, C i D vrhovi su kvadrata stranice duljine 2. Točka M polovište je stranice [latex]\mathit{\overline{CD}}[/latex].

Odredi mjeru kuta između vektora [latex]\mathit{\overrightarrow{AM}}[/latex] i [latex]\mathit{\overrightarrow{AD}}[/latex].

Primijetimo da je trokut [latex]\mathit{AMD}[/latex] pravokutan s pravim kutom kod vrha D.

Traženi kut odredit ćemo koristeći se trigonometrijom pravokutnoga trokuta.

[latex]\text{tg}\angle (\overrightarrow{\mathit{AM}},\overrightarrow{\mathit{AD}})=\displaystyle{\frac{|\mathit{DM}|}{|\mathit{AD}|}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}[/latex]

[latex]\angle (\overrightarrow{\mathit{AM}},\overrightarrow{\mathit{AD}})=\text{tg}^{-1}\left(\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)\approx 26.57^\circ[/latex]

Zadatak 3.

Pod kojim kutom prijateljice vuku Petru za ruke ako svaka vuče silom od 5 N, a zajedno je vuku silom od 8 N?

Prikažimo situaciju skicom.

Kako su sile jednakih iznosa, znamo da se radi o rombu, tj. da se njegove dijagonale sijeku pod pravim kutom te se raspolavljaju.

Sada iz istaknutnoga trokuta lako računamo traženi kut:

[latex]\cos\left(\frac{1}{2}\angle (\overrightarrow{\mathit{AB}},\overrightarrow{\mathit{AC}})\right)=\displaystyle{\frac{4}{5}}[/latex]

[latex]\frac{1}{2}\angle (\overrightarrow{\mathit{AB}},\overrightarrow{\mathit{AC}})=\cos^{-1}\left(\displaystyle{\frac{4}{5}}\right)\approx 36.87^\circ[/latex]

[latex]\angle (\overrightarrow{\mathit{AB}},\overrightarrow{\mathit{AC}})\approx 73.74^\circ[/latex]

Kut između dva vektora pomoću koordinata

Ako su vektori zadani svojim koordinatama u pravokutnom koordinatnom sustavu [latex]\vec{\mathit{a}}=(\mathit{a_x,a_y})[/latex] i [latex]\vec{\mathit{b}}=(\mathit{b_x,b_y})[/latex], onda kut među njima možemo računati koristeći se formulom:

Dana formula izvodi se pomoću skalarnog umnoška koji ćemo usvojiti nešto poslije. Formula vrijedi za sve vektore različite od nul-vektora.

Zadatak 4.

Odredi mjeru kuta između vektora [latex]\mathit{\vec{a}}=(1,2)[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}}=(-2,0)[/latex].

[latex]\cos \angle (\vec{\mathit{a}},\vec{\mathit{b}})=\displaystyle {\frac{\mathit{a}_{\mathit{x}}\mathit{b}_{\mathit{x}}+\mathit{a}_{\mathit{y}}\mathit{b}_{\mathit{y}}}{\sqrt{\mathit{a}^2_{\mathit{x}}+\mathit{a}^2_{\mathit{y}}}\cdot \sqrt{\mathit{b}^2_{\mathit{x}}+\mathit{b}^2_{\mathit{y}}}}}=\displaystyle{\frac{1\cdot (-2)+2\cdot 0}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot\sqrt{(-2)^2+0^2}}}=\displaystyle{\frac{-2}{2\sqrt{5}}}=-\displaystyle{\frac{\sqrt{5}}{5}}[/latex]

[latex]\angle (\vec{\mathit{a}},\vec{\mathit{b}})=\cos ^{-1}\left(-\displaystyle{\frac{\sqrt{5}}{5}}\right)\approx 116.57°[/latex]

Zadatak 5.

Upiši mjeru kuta između vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex] zadanih koordinatama. Provjeri svoje rješenje klikom na tipku "Provjeri". Generiraj novi zadatak klikom na tipku "Novi zadatak". Ako kut nije definiran, upiši "-1".

Zadatak 6.

Upiši mjeru kuta između vektora [latex]\mathit{\vec{a}}[/latex] i [latex]\mathit{\vec{b}}[/latex] na slici. Provjeri svoje rješenje klikom na tipku "Provjeri". Generiraj novi zadatak klikom na tipku "Novi zadatak". Ako kut nije definiran, upiši "-1".

Zadatak 7.

Odredi mjeru kuta pri vrhu [latex]\mathit{A}[/latex] u trokutu [latex]\mathit{ABC}[/latex] s vrhovima [latex]\mathit{A}(-1,2)[/latex], [latex]\mathit{B}(1,-3)[/latex] i [latex]\mathit{C}(5,1)[/latex].

Traženi kut odredit ćemo tako da izračunamo mjeru kuta između vektora [latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}[/latex] i [latex]\mathit{\overrightarrow{AC}}[/latex].

Odredimo prvo koordinate tih vektora:

[latex]\mathit{\overrightarrow{AB}}=(1-(-1),-3-2)=(2,-5)[/latex]

[latex]\mathit{\overrightarrow{AC}}=(5-(-1),1-2)=(6,-1)[/latex]

A zatim i kut među njima:

[latex]\cos \angle (\mathit{\overrightarrow{AB}},\mathit{\overrightarrow{AC}})=\displaystyle{\frac{2\cdot6+(-5)\cdot(-1)}{\sqrt{2^2+(-5)^2}\cdot\sqrt{6^2+(-1)^2}}}=\displaystyle{\frac{17}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{37}}}[/latex]

[latex]\angle (\mathit{\overrightarrow{AB}},\mathit{\overrightarrow{AC}})=\cos^{-1}\left(\displaystyle{\frac{17}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{37}}}\right)\approx58.74°[/latex]