Kvadar
Uvod
Jeste li čuli za drušvenu igru Jenga?
Igru je osmislila Leslie Scott koja je svoje djetinjstvo provela u Africi te ju je zato i nazvala Jenga što na swahilijskom znači "gradi".
Igra se sastoji od [latex]54[/latex] drvena kvadra jednakih dimenzija. Kvadri se slažu u toranj po tri u redu. Igrači naizmjenice izvlače kvadre pazeći pritom da se toranj ne sruši. Kvadar koji se izvuče slaže se ponovno na toranj. Gubitnik je igrač koji zadnji dodirne toranj prije nego se sruši.
Nauči:
Uspravna prizma kojoj je baza pravokutnik naziva se KVADAR.
Kvadar je zadan ako su zadana tri njegova brida [latex]a[/latex], [latex]b[/latex] i [latex]c[/latex] sa zajedničkim vrhom.
Takav se kvadar kraće naziva kvadar s bridovima [latex]\pmb{a}[/latex], [latex]\pmb{b}[/latex] i [latex]\pmb{c}[/latex].
Uoči
Kocka je kvadar kojemu su svi bridovi jednako dugi.
Kvadat se može nacrtati ovako:
Primjer 1.
Duljine bridova kvadra su [latex]3\: \text{cm},4\: \text{cm}\: \text{i}\: 8\: \text{cm}[/latex]. Izračunajmo:
a/ duljinu najkraće plošne dijagonale
Rješenje
Najkraću dijagonalu ima strana kvadra kojoj su bridovi duljina [latex]3\: \text{cm}[/latex] i [latex]4\: \text{cm}[/latex]. Primjenimo Pitagodin poučak na istaknuti trokut.
[latex]d^{2^{}}=3^2+4^2[/latex]
[latex]d^2=25[/latex]
[latex]d=5[/latex]
Duljina je najkraće plošne dijagonale [latex]5\: \text{cm}[/latex].
b/ duljinu prostorne dijagonale
Rješenje
Primjenimo Pitagorin poučak na istaknuti trokut.
[latex]D^2=d^2_1+c^{2_{}}_{}[/latex]
Uvrštavamo [latex]d^2_{1_{}}=a^2+b^2[/latex] u gornju jednakost.
[latex]D^2=a^2+b^2+c^2[/latex]
[latex]D^2=8^2+3^2+4^2[/latex]
[latex]D^2=89[/latex]
[latex]D=\sqrt[]{89}[/latex]
Duljina prostorne dijagonale je [latex]\sqrt[]{89}\;\text{cm}[/latex].
c/ površinu najvećeg dijagonalnog prosjeka
Dijagonalni presjek kvadra najveće površine pravokutnik je kojemu su susjedne stranice duge [latex]8\: \text{cm}[/latex] i [latex]5\: \text{cm}[/latex].
[latex]P=8\cdot5[/latex]
[latex]P=40\:\text{cm}^2[/latex]
Površina je najvećeg dijagonalnog presjeka [latex]40\;\text{cm}^2[/latex].
Zadatak 1.
Izračunaj duljinu najduže plošne dijagonale, duljinu prostorne dijagonale i površinu dijagonalnog presjeka kvadra sa slike.
Zadatak 2.
Oplošje i volumen kvadra
Mreža kvadra sadržava tri para sukladnih pravokutnika pa je oplošje jedanko zbroju provršina tih pravokutnika tj. [latex]O=2ab+2bc+2ac[/latex].
Kvadar s bridovima duljina [latex]a, b[/latex] i [latex]c[/latex] možemo shvatiti kao prizmu s bazom [latex]B=a\cdot b[/latex] i visinom [latex]h=c[/latex].
Oplošje kvadra
[latex]\pmb{O=2ab+2bc+2ac}[/latex]
ili
[latex]\pmb{O=2(ab+bc+ac)}[/latex]
Volumen kvadra
[latex]\pmb{V=a\cdot b\cdot c}[/latex]
Primjer 2.
Izračunaj oplošje i obujam kvadra kojemu sz bridovi dugi [latex]4.2\:\text{cm}[/latex], [latex]2.7\: \text{cm}[/latex] i [latex]3.9\: \text{cm}[/latex].
Rješenje:
[latex]a=4.2\: \text{cm}[/latex]
[latex]b=2.7\: \text{cm}[/latex]
[latex]\underline{c=3.9\:\text{cm}}[/latex]
[latex]O=?[/latex], [latex]V=?[/latex]
Uvrštavamo zadane vrijednosti u formule za oplošje i obujam kvadra.
[latex]O=2(ab+ac+bc)[/latex]
[latex]O=2(4.2\cdot2.7+4.2\cdot3.9+2.7\cdot3.9)[/latex]
[latex]O=76.5\;\text{cm}^2[/latex]
[latex]V=a\cdot b\cdot c[/latex]
[latex]V=4.2\cdot2.7\cdot3.9[/latex]
[latex]V=44.226\:\text{cm}^3[/latex]