Pravilna četverostrana (kvadratna) piramida

Uvod

Osim u Egiptu jedna od poznatijih građevina u obliku piramide nalazi se u Parizu na ulazu u muzej Louvre.

Uspravna piramida kojoj je baza pravilni četverokut naziva se

PRAVILNA ČETVEROSTRANA PIRAMIDA
ili KVADRATNA PIRAMIDA.

Kako računamo volumen i oplošje?

Pitagorin poučak u piramidi

Pri određivanju nepoznatih veličina često primjenjujemo Pitagorin poučak. Istraži u interaktivnom prikazku različite trokute i kako primijeniti Pitagorin poučak. 

Primjer 1.

Duljina je osnovnog brida kvadratne piramide [latex]36\;\text{cm}[/latex], a visina joj je [latex]24\;\text{cm}[/latex]. Izračunajmo oplošje i volumen piramide.

[latex]\begin{aligned}a=36\enspace \text{cm} \\ h=24\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \\ O=?,\enspace V=?\end{aligned}[/latex]

 

[latex]\begin{aligned}a=36\enspace \text{cm} \\ h=24\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \\ O=?,\enspace V=?\end{aligned}[/latex]

Računamo volumen.

[latex]\begin{aligned}V & =\frac{1}{3}\cdot B\cdot h \\ B & =a^2,\enspace B=1296\enspace \text{cm}^2\end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}a=36\enspace \text{cm} \\ h=24\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \\ O=?,\enspace V=?\end{aligned}[/latex]

Računamo volumen.

[latex]\begin{aligned}V & =\frac{1}{3}\cdot B\cdot h \\ B & =a^2,\enspace B=1296\enspace \text{cm}^2\end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}V & =\frac{1}{3}\cdot1296\cdot24 \\ V & =10\ 368\enspace \text{cm}^3\end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}a=36\enspace \text{cm} \\ h=24\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \\ O=?,\enspace V=?\end{aligned}[/latex]

Računamo oplošje, [latex]B=1296\;\text{cm}^2[/latex].

[latex]\begin{aligned}O & =B+P \\ P & =4\cdot\frac{a \cdot v}{2}\end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}a=36\enspace \text{cm} \\ h=24\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \\ O=?,\enspace V=?\end{aligned}[/latex]

Računamo oplošje, [latex]B=\;\text{cm}^2[/latex].

[latex]\begin{aligned}O & =B+P \\ P & =4\cdot\frac{a \cdot v}{2}\end{aligned}[/latex]

Da bi mogli izračunati plašt i površinu trokuta, na istaknuti trokut primijenimo Pitagorin poučak. 

[latex]\begin{aligned}v^2 & =18^2+24^2=900 \\ v & =30\enspace \text{cm}\end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}a=36\enspace \text{cm} \\ h=24\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \\ O=?,\enspace V=?\end{aligned}[/latex]

Računamo oplošje, [latex]B=1296\;\text{cm}^2[/latex].

[latex]\begin{aligned}O & =B+P \\ P & =4\cdot\frac{a \cdot v}{2}\end{aligned}[/latex]

Da bi mogli izračunati plašt i površinu trokuta, na istaknuti trokut primijenimo Pitagorin poučak. 

[latex]\begin{aligned}v^2 & =18^2+24^2=900 \\ v & =30\enspace \text{cm}\end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}P & =4\cdot\frac{36 \cdot30}{2} \\ P & =2160\enspace \text{cm}^2\end{aligned}[/latex]

 

[latex]\begin{aligned}a=36\enspace \text{cm} \\ h=24\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \\ O=?,\enspace V=?\end{aligned}[/latex]

Računamo oplošje, [latex]B=1296\;\text{cm}^2[/latex].

[latex]\begin{aligned}O & =B+P \\ P & =4\cdot\frac{a \cdot v}{2}\end{aligned}[/latex]

Da bi mogli izračunati plašt i površinu trokuta, na istaknuti trokut primijenimo Pitagorin poučak. 

[latex]\begin{aligned}v^2 & =18^2+24^2=900 \\ v & =30\enspace \text{cm}\end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}P & =4\cdot\frac{36 \cdot30}{2} \\ P & =2160\enspace \text{cm}^2\end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}O & =1296 + 2160 \\ O & =3456 \enspace \text{cm}^2\end{aligned}[/latex]

 

 

Zadatak 1.

Primjer 2.

Izračunaj oplošje i volumen kvadratne piramide s osnovnim bridom duljine [latex]32\;\text{cm}[/latex] i bočnim bridom duljine [latex]34\;\text{cm}[/latex]. 

[latex]\begin{aligned}a=32\enspace \text{cm} \\ b=34\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

Računamo oplošje. 

[latex]O =B+P, \enspace P =4\cdot\frac{a \cdot v}{2}[/latex]

[latex]\begin{aligned}a=32\enspace \text{cm} \\ b=34\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

Računamo površinu baze. 

[latex]B=a^2, \enspace B=32^2, \enspace B=1024 \enspace \text{cm}^2[/latex]

[latex]\begin{aligned}a=32\enspace \text{cm} \\ b=34\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

[latex]B=1024 \enspace \text{cm}^2[/latex]

Visinu v ćemo izračunati prema Pitagorinom poučku (vidi sliku).

[latex]v^2 =34^2-16^2 \\ v^2=900 \\ v=30 \enspace \text{cm}[/latex]

[latex]\begin{aligned}a=32\enspace \text{cm} \\ b = 34\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

[latex]B=1024 \enspace \text{cm}^2, \enspace v = 30\enspace  \text{cm}[/latex]

[latex]\begin{aligned}P & =4\cdot\frac{32 \cdot30}{2} \\ P & =1920\enspace \text{cm}^2\end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}a=32\enspace \text{cm} \\ b=34\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

[latex]B=1024 \enspace \text{cm}^2, \enspace v=30\enspace \text{cm}, \enspace \\ P=1920 \enspace \text{cm}^2[/latex]

[latex]O=B+P=1024+1920 \\ O=2944\enspace \text{cm}^2[/latex]

[latex]\begin{aligned}a=32\enspace \text{cm} \\ b=34\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

Računamo volumen.

[latex]V =\frac{1}{3}\cdot B\cdot h[/latex]

[latex]\begin{aligned}a=32\enspace \text{cm} \\ b=34\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

Duljinu visine izračunati ćemo primjenom Pitagorina poučka (vidi sliku). 
Računamo duljinu dijagonale baze (kvadrata). 

[latex]d=a\sqrt{2},\enspace d=32\sqrt{2},\enspace \textcolor{blue}{\frac{d}{2}=16\sqrt{2}}[/latex]

[latex]\begin{aligned}a=32\enspace \text{cm} \\ b=34\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

[latex] \textcolor{blue}{\frac{d}{2}=16\sqrt{2}}[/latex]

Računamo visinu piramide.

[latex]h^2=34^2-\Big(16\sqrt{2}\Big)^2 \\h^2=1156-512  \\ h^2=644\\h=\sqrt{644},\enspace \textcolor{red}{ h\approx25.38}[/latex]

[latex]\begin{aligned}a=32\enspace \text{cm} \\ b=34\enspace \text{cm} \\ \rule{2cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

Računamo volumen piramide.

[latex]V =\frac{1}{3}\cdot B\cdot h, \enspace \textcolor{red}{ h\approx25.38}[/latex]

[latex]V=\frac{1}{3}\cdot1024 \cdot25.38 \\ V=8663.04 \enspace \text{cm}^3[/latex]

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.