Valjak

Uvod

Geometrijsko tijelo omeđeno dvama sukladnim krugovima koji se nalaze u usporednim ravninama te dijelom zakrivljene plohe naziva se VALJAK.

Krugovi se nazivaju baze ili osnovke valjka.

Zakrivljena ploha naziva se plašt valjka.

Dužina okomita na baze kojoj su krajnje točke u bazama naziva se visina valjka. Njezina se duljina označava s h.

Pravac koji sadržava središta baza naziva se os valjka.

Dužina koja pripada plaštu i usporedna je s osi valjka naziva se izvodnica valjka.

Istraži

Uz pomoć sljedeće Geogebre istraži kako izgleda mreža valjka te kako valjak nastaje rotacijom jednog geometrijskog lika.

Mreža valjka

Nauči

Mrežu valjka čine dva kruga (baze) i pravokutnik (plašt).

Površina baze valjka označava se s [latex]B[/latex], a površina plašta s [latex]P[/latex].

Duljina jedne stranice pravokutnika jednaka je opsegu baze valjka, a duljina druge stranice jednaka je visini valjka.

[latex]B=r^2\pi[/latex]

[latex]P=2r\pi[/latex]

[latex]O=2B+P[/latex]

[latex]O=2r\pi(r+h)[/latex]

Volumen valjka označava se s V.
Kada se valjak „rastavi“ na sukladne dijelove, od njih se može sastaviti tijelo nalik prizmi.

Površine baza, visine i volumeni oba tijela su jednaki.
Kako je obujam prizme [latex]V=B\cdot h[/latex], može se zaključiti da se i volumen valjka računa na isti način.

[latex]B=r^2\pi[/latex]

[latex]V=B\cdot h[/latex]

[latex]V=r^2\pi h[/latex]

Primjer 1.

U ovom primjeru računat ćemo oplošje i volumen valjka na dva načina:

a/ računajući i površinu baze i površinu plašta
b/ bez posebnog računanja površine baze i plašta.

(Uputa: Približnu vrijednost računamo tako da uvrstimo [latex]\pi\approx3.14[/latex], a rezultat zaokružimo na dvije decimale.)

a/ Izračunajmo oplošje i volumen valjka s radijusom [latex]5\:\text{cm}[/latex] i visinom [latex]12\:\text{cm}[/latex].

U ovom primjeru računat ćemo i oplošje i volumen.

[latex]r=5\operatorname{cm} \\ \underline {h=12\operatorname{cm}} \\ O=?, V=?[/latex]

Izračunajmo provršinu baze i površinu plašta.

[latex]B=r^2\pi[/latex]
[latex]B=5^2\cdot\pi[/latex]
[latex]B=25\pi[/latex]

[latex]P=2r\pi h[/latex]
[latex]P=2\cdot5\cdot\pi\cdot12[/latex]
[latex]P=120\pi[/latex]

[latex]B=25\pi[/latex]
[latex]P=120\pi[/latex]

Izračunajmo oplošje.

[latex]O=2B+P[/latex]
[latex]O=2\cdot25\pi+120\pi[/latex]
[latex]O=170\pi[/latex]
[latex]O\approx170\cdot3.14[/latex]
[latex]O\approx533.8\;\text{cm}^2[/latex]

Izračunajmo volumen.

[latex]V=B\cdot h[/latex]
[latex]V=25\pi\cdot12[/latex]
[latex]V=300\pi[/latex]
[latex]V\approx300\cdot3.14[/latex]
[latex]V\approx942\:\text{cm}^3[/latex]

b/ Izračunajmo oplošje i volumen valjka s radijusom [latex]3\:\text{cm}[/latex] i visinom [latex]7\:\text{cm}[/latex].

U ovom primjeru računat ćemo oplošje i volumen bez posebnog računanja površine baze i plašta.

[latex]r=3\operatorname{cm} \\ \underline {h=7\operatorname{cm}} \\ O=?, V=?[/latex]

Izračunajmo oplošje.

[latex]O=2r\pi(r+h)[/latex]
[latex]O=2\cdot3\cdot\pi\cdot(3+7)[/latex]
[latex]O=60\pi[/latex]
[latex] O\approx60\cdot3.14[/latex]
[latex]O\approx188.4\: \: \text{cm}^2[/latex]

[latex]r=3\operatorname{cm} \\ \underline {h=7\operatorname{cm}} \\ O=?, V=?[/latex]

Izračunajmo volumen.

[latex]V=r^2\pi h[/latex]
[latex]V=3^2\cdot\pi\cdot7[/latex]
[latex]V=63\pi[/latex]
[latex]V\approx63\cdot3.14[/latex]
[latex]V\approx197.82\:\:\text{cm}^3[/latex]

Zadatak 1.

Primjer 2.

Zadatak 2.

Osni presjek valjka

Osni presjek valjka jest presjek valjka ravninom koja sadržava os valjka (i koja je stoga okomita na
njegove baze).

Osni presjek valjka jest pravokutnik.

Primjer 3.

a/ Površina je osnoga presjeka valjka [latex]60\:\text{cm}^2[/latex], a radijus baze [latex]5\:\text{cm}[/latex].

Izračunajmo volumen valjka.

b/ Opseg je osnog presjeka valjka [latex]32\:\text{cm}[/latex], a visina valjka duga je [latex]8\:\text{cm}[/latex].

Koliko je oplošje valjka?

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Nakon što je Matija naučio sve o valjku prionio je računanju količine vode u čaši.

Izmjerio je visinu do koje seže voda, visinu čaše i promjer čaše, kao što možeš vidjeti na slici.