Stožac

Uvod

Kada se zapitamo koji objekti u svakodnevnom životu imaju oblik stošca, prvo što nam većini padne na pamet je kornet za sladoled. Međutim, puno je primjera različitih geometrijskih oblika u arhitekturi, kako tradicionalnoj tako i suvremenoj.

U sljedećoj foto-galeriji proučite različite građevine koje su djelomično ili u cijelosti izgrađene u obliku stošca.

Nauči

Geometrijsko tijelo koje nastaje tako da se sve točke kruga spoje s točkom koja je izvan ravnine kruga naziva se STOŽAC. Ta točka naziva se VRH stošca, a taj je krug BAZA ili OSNOVKA stošca.

Stožac se može nacrtati na sljedeći način:

Istraži: elementi stošca

Istražite kako se nazivaju osnovni elementi stošca. Klikom na pojedini element otkrivaju se naziv i opis tog elementa. Koristeći klizače možete mijenjati duljinu visine i radijusa baze stošca.

Zadatak 1.

Istraži: uspravan i kosi stožac

Istražite razliku između uspravnog i kosog stošca. Za bolju vizualizaciju okrećite stožac u 3D grafičkom prikazu i koristite gume za različite poglede, odnosno prikaze stošca u prostoru. Koristeći klizač možete mijenjati duljinu radijusa baze stošca.

Nauči

Stožac je uspravan ako je os stošca okomita na ravninu baze. Ako os stošca nije okomita na njegovu bazu, taj je stožac kos. Mi ćemo proučavati samo uspravne stošce i u daljnjim ćemo razmatranjima uspravni stožac jednostavno zvati stožac.

Stožac je zadan ako su zadani radijus baze r i visina h. Takav se stožac kraće naziva stožac s polumjerom r i visinom h.

Zadatak 2.

Istraži: mreža stošca

Istražite kako izgleda i od čega se sastoji mreža stošca. Za bolju vizualizaciju okrećite stožac u 3D grafičkom prikazu i koristite gume za različite poglede, odnosno prikaze štošca i njegove mreže u prostoru. Koristeći klizač možete mijenjati duljinu radijusa baze stošca, a pomicanjem vrha visinu stošca.

Razmislite o postavljenim pitanjima i uočite odnos između pojedinih elemenata mreže.

Oplošje stošca

Mrežu stošca čine krug (baza stošca) i kružni isječak (plašt stošca). Površina baze stošca označava se s $$B$$, a površina plašta s $$P$$.

Izvod formula za površinu baze i plašta stošca

Baza stošca je krug, pa je

[latex]B=r^2\pi[/latex].

Površina kružnog isječka polumjera [latex]s[/latex] kojem je duljina kružnog luka [latex]l[/latex] računa se po formuli

[latex]P=\frac{l \cdot s}{2}[/latex].

Kako je duljina kružnog luka tog isječka (plašt stošca) jednaka opsegu baze, tj. [latex]l=o=2r\pi[/latex], uvrštavanjem u prethodnu formulu dobivamo:

[latex]P=\frac{l \cdot s}{2}=\frac{2r\pi s}{2}[/latex], odnosno

[latex]P=r\pi s[/latex].

Oplošje stošca jednako je zbroju površine baze i plašta.

[latex]O=B+P[/latex]

[latex]B=r^2\pi[/latex]

[latex]P=r\pi s[/latex]

[latex]O=r^2\pi+r\pi s[/latex]

[latex]O=r\pi(r+s)[/latex]

Primjer 1.

a/ Izračunajmo oplošje stošca ako je duljina polumjera njegove baze [latex]r=7 \; \text{cm}[/latex], a duljina izvodnice [latex]s=10 \; \text{cm}[/latex].

Rješenje.

Površina baze stošca računa se prema formuli [latex]B=r^2\pi[/latex] pa uvrštavanjem dobivamo da je [latex]B=49\pi \; \text{cm}^2[/latex].

Površina plašta stošca računa se prema formuli [latex]P=r\pi s[/latex] pa uvrštavanjem dobivamo da je [latex]P=7 \cdot \pi \cdot 10=70\pi \; \text{cm}^2[/latex].

Odavde je oplošje stošca [latex]O=B+P=49\pi+70\pi[/latex], [latex]O=119\pi \; \text{cm}^2[/latex].

c/ Izračunajmo oplošje stošca kojemu je opseg baze jednak [latex]12\pi \; \text{cm}[/latex], a duljina visine [latex]h=8 \; \text{cm}[/latex].

Rješenje.

Opseg baze stošca (opseg kruga) računamo kao [latex]o=2r\pi[/latex] pa uvrštavanjem zadanog opsega dobivamo [latex]12\pi=2r\pi[/latex], odakle je [latex]r=6 \; \text{cm}[/latex].

[latex]B=r^2\pi[/latex], [latex]B=36\pi \; \text{cm}^2[/latex].

Kao i u prethodnom primjeru, duljinu izvodnice izračunat ćemo primjenom Pitagorina poučka: [latex]s^2=r^2+h^2[/latex], [latex]s^2=6^2+8^2[/latex], [latex]s^2=100[/latex], [latex]s=10 \;\text{cm}[/latex].

[latex]P=r\pi s[/latex], [latex]P=6 \cdot \pi \cdot 10=60\pi \; \text{cm}^2[/latex].

[latex]O=B+P=36\pi+60\pi[/latex], [latex]O=96\pi \; \text{cm}^2[/latex].

b/ Koliko je oplošje stošca kojemu je duljina polumjera baze [latex]r=5 \; \text{cm}[/latex], a duljina visine [latex]h=12 \; \text{cm}[/latex].

Rješenje

[latex]B=r^2\pi[/latex] pa uvrštavanjem dobivamo da je [latex]B=25\pi \; \text{cm}^2[/latex].

Da bismo izračunali površinu plašta, moramo izračunati duljinu izvodnice. Duljinu izvodnice izračunat ćemo primjenom Pitagorina poučka (vidi sliku u Zadatak 2.). Imamo redom [latex]s^2=r^2+h^2[/latex], [latex]s^2=5^2+12^2[/latex], [latex]s^2=169[/latex], [latex]s=13 \;\text{cm}[/latex].

[latex]P=r\pi s[/latex] pa uvrštavanjem dobivamo [latex]P=5 \cdot \pi \cdot 13=65\pi \; \text{cm}^2[/latex].

[latex]O=B+P=25\pi+65\pi[/latex], [latex]O=90\pi \; \text{cm}^2[/latex].

d/ Izračunajmo oplošje stošca kojemu je površina plašta jednaka [latex]33.75\pi \; \text{cm}^2[/latex], a duljina izvodnice [latex]s=7.5 \; \text{cm}[/latex].

Rješenje.

Površinu plašta računamo kao [latex]P=r\pi s[/latex] pa uvrštavanjem zadane površine i duljine izvodnice dobivamo [latex]33.75\pi=r \cdot\pi\cdot 7.5[/latex], odakle je [latex]r=4.5 \; \text{cm}[/latex].

[latex]B=r^2\pi[/latex], [latex]B=20.25\pi \; \text{cm}^2[/latex].

[latex]O=B+P=20.25\pi+33.75\pi[/latex], [latex]O=54\pi \; \text{cm}^2[/latex].

Istraži: volumen stošca

Istražite odnos volumena stošca s bazom [latex]B[/latex] i visinom [latex]h[/latex] i volumena valjka s istom bazom i visinom.

Razmislite o postavljenim pitanjima i uočite koliki dio volumena valjka čini volumen stošca.

Volumen stošca s bazom B i visihom h točno je [latex]\frac{1}{3}[/latex] volumena valjka s istom bazom i visinom.

[latex]V=\frac{1}{3}\cdot B \cdot h[/latex]

[latex]B=r^2\cdot\pi[/latex]

[latex]V=\frac{1}{3}r^2\pi h[/latex]

Primjer 2.

a/ Koliki je volumen stošca s radijusom baze [latex]8\;\text{dm}[/latex] i izvodnicom [latex]15\;\text{dm}[/latex]?

Rješenje a/

[latex]B=r^2\pi[/latex] pa uvrštavanjem dobivamo da je [latex]B=64\pi\;\text{dm}^2[/latex].

Primjenom Pitagorina poučka izračunamo duljinu visine: [latex]h^2=s^2-r^2[/latex], [latex]h^2=17^2-8^2[/latex], [latex]h^2=225[/latex], [latex]h=15\;\text{dm}[/latex].

[latex]V=\frac{1}{3}\cdot 64\pi \cdot 15[/latex], [latex]V=320\pi\;\text{dm}^3[/latex].

c/ Koliki je volumen stošca kojemu je oplošje [latex]200\pi \;\text{cm}^2[/latex], a polumjer baze je [latex]8 \; \text{cm}[/latex]?

Rješenje c/

Da bismo izračunali volumen, potrebno je izračunati površinu baze i visinu stošca.

[latex]B=r^2\pi[/latex] pa uvrštavanjem duljine polumjera dobivamo da je [latex]B=64\pi \; \text{cm}^2[/latex].

Uvrštavanjem površine baze i zadanog oplošja u formulu za oplošje, možemo izračunati površinu plašta. [latex]O=B+P[/latex], [latex]200\pi=64\pi+P[/latex], pa je [latex]P=136\pi \;\text{cm}^2[/latex].

Iz površine plašta možemo izračunati duljinu izvodnice. Imamo: [latex]P=r\pi s=136\pi[/latex], uz [latex]r=8[/latex], slijedi da je [latex]s=17\;\text{cm}[/latex].

Primjenom Pitagorinog poučka dobivamo: [latex]h^2=s^2-r^2[/latex], [latex]h^2=17^2-8^2[/latex], [latex]h^2=225[/latex], [latex]h=15\;\text{cm}[/latex].

[latex]V=\frac{1}{3}\cdot 64\pi \cdot 15[/latex], [latex]V=320\pi \; \text{cm}^3[/latex].

b/ Izračunajmo obujam stošca čija baza ima promjer [latex]6\;\text{cm}[/latex], a visina mu je [latex]0.6\;\text{dm}[/latex].

Rješenje b/

Promjer baze je jednak [latex]2r[/latex], pa je duljina polumjera baze [latex]r=3\;\text{cm}[/latex].

[latex]B=r^2\pi[/latex], [latex]B=9\pi\;\text{cm}^2[/latex].

Duljina visine stošca je [latex]6\;\text{cm}[/latex].

[latex]V=\frac{1}{3}\cdot B \cdot h[/latex], [latex]V=\frac{1}{3} \cdot 9\pi \cdot 6[/latex], [latex]V=18\pi \; \text{cm}^3[/latex].

d/ Izračunajmo oplošje stošca kojemu je obujam [latex]1500\pi \;\text{cm}^3[/latex], a visina [latex]20\;\text{cm}[/latex].

Rješenje d/

Da bismo izračunali oplošje, potrebno je izračunati površinu baze i plašta stošca.

Uvrštavanjem duljine visine i zadanog obujma u formulu za obujam, možemo izračunati duljinu polumjera i površinu baze. [latex]V=\frac{1}{3}\cdot B \cdot h[/latex], odakle dobijemo jednadžbu [latex]1500\pi=\frac{1}{3}\cdot r^2 \cdot\pi\cdot 20[/latex].
Riješimo jednadžbu:
[latex]1500\pi=\frac{20}{3}r^2\pi \;/:\frac{20}{3}\pi[/latex]
[latex]r^2=225[/latex], [latex]r=15\;cm[/latex] i odavde je [latex]B=r^2\pi[/latex], [latex]B=225\pi \; \text{cm}^2[/latex].

Primjenom Pitagorinog poučka dobivamo: [latex]s^2=r^2+h^2[/latex], [latex]s^2=15^2+20^2[/latex], odakle je [latex]s=25\;\text{cm}[/latex].

Izračunamo površinu plašta i oplošje.
[latex]P=r\pi s[/latex], [latex]P=375\pi\;\text{cm}^2[/latex].
[latex]O=225\pi+375\pi[/latex], [latex]O=600\pi\;\text{cm}^2[/latex].

Zadatak 3.

Uvježbaj izračun oplošja i volumena stošca. Zadaci se generiraju nasumično kao u beskonačnoj zbirci zadataka. Riješi pojedini zadatak u bilježnicu i klikom na odgovarajući potvrdni okvir provjeri svoje rješenje.

Ako je potrebno oplošje i volumen zaokruži na dvije decimale, a duljinu izvodnice, visine i polumjera baze stošca na jednu decimalu. Za broj [latex]\pi[/latex] upotrijebi približnu vrijednost [latex]\pi\approx 3.14[/latex].

Osni presjek stošca

Osni presjek uspravnog stošca jest presjek stošca ravninom koja sadržava os stošca (i koja je stoga okomita na njegovu bazu).

Osni presjek stošca je jednakokračan trokut kojemu je osnovica promjer baze, a krakovi su izvodnice stošca.

Izvod formule za površinu osnog presjeka stošca

Površina trokuta jednaka je polovini umnoška duljina
njegove stranice i njoj pridružene visine.

Osni presjek stošca je jednakokračan trokut s osnovicom duljine [latex]2r[/latex] i pripadnom visinom duljine [latex]h[/latex], pa je njegova površina jednaka

[latex]p=\frac{2r \cdot h}{2}[/latex], odnosno

[latex]p=rh[/latex].

Zadatak 4.

Primjer 3. Visina drvenog modela

RJEŠENJE

Zapišimo poznate podatke, kao i podatak koji treba izračunati:
[latex]2r=8\;\text{cm}[/latex], [latex]r=4\;\text{cm}[/latex]
[latex]m=75\;\text{g}[/latex]
[latex]\underline{\rho=750\;\text{kg/m}^3=0.75\;\text{g/cm}^3}[/latex]
[latex]h=\;?[/latex]

Obzirom da imamo podatak o masi modela, kao i gustoći materijala od kojeg je izrađen (drvo), iz tih podataka možemo izračunati obujam modela (stožac).
[latex]\rho=\frac{m}{V}[/latex] odakle slijedi [latex]V=\frac{m}{\rho}[/latex].
[latex]V=\frac{75}{0.75}[/latex]
[latex]V=100\;\text{cm}^3[/latex]

Visinu modela izračunat ćemo pomoću obujma.
[latex]V=\frac{1}{3}\cdot B\cdot h[/latex]
[latex]100=\frac{1}{3}\cdot 4^2\cdot\pi\cdot h\;\;/\cdot 3[/latex]
[latex]300=16\cdot\pi\cdot h\;\;/: \pi[/latex]
[latex]95.54\approx16\cdot h\;\;/: 16[/latex]
[latex]h\approx 5.97\;\text{cm}[/latex]

Visina modela je približno [latex]6\;\text{cm}[/latex].

Za znatiželjne

Rotacijom u prostoru do stošca

RAZMISLI...

Rotacijom kojeg lika i oko kojeg pravca nastaje uspravni stožac?