Linearna jednadžba s dvjema nepoznanicama i njezino rješenje

Marina je na tržnici kupila avokado i maline što je platila [latex]78[/latex] eura. Kilogram avokada stoji [latex]14[/latex] eura, a kilogram malina[latex]10[/latex] eura. Zapišimo to u obliku linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama.

Označimo s [latex]x[/latex] masu kupljenih avokada, a s [latex]y[/latex] masu kupljenih malina.

S obzirom da [latex]1[/latex] kilogram avokada stoji [latex]14[/latex] eura, trošak za [latex]x[/latex] kilograma malina iznosi [latex]14x[/latex] eura. Kako [latex]1[/latex] kilogram malina stoji [latex]10[/latex] eura, znači da trošak za [latex]y[/latex] kilograma malina iznosi [latex]10y[/latex] eura.

Ukupan trošak iznosio je [latex]78[/latex] eurašto možemo zapisati jednadžbom [latex]14x + 10y = 78[/latex].

Jednadžba [latex]14x + 10y = 78[/latex] jest linearna jednadžba s dvjema nepoznanicama [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex].

U toj jednadžbi broj [latex]14[/latex] je koeficijent uz nepoznanicu [latex]x[/latex], broj [latex]10[/latex] je koeficijent uz nepoznanicu [latex]y[/latex], dok je broj [latex]78[/latex] slobodni koeficijent (slobodni član).

Miljenka je u knjižari dvije velike i tri male pernice platila [latex]30[/latex] eura. Kolika je cijena velike, a kolika male pernice? 

Primjerice, cijena velike pernice može biti [latex]9[/latex] eura, a cijena male pernice[latex]4[/latex] eura. U tom slučaju trošak za dvije velike pernice iznosi [latex]18[/latex] eura, a za tri male pernice [latex]12[/latex] eura što je ukupno [latex]30[/latex] eura, koliko je Miljenka platila pernice.

Ako u jednadžbu [latex]2{\color{red}{x}}+3{\color{blue}{y}}=30[/latex] umjesto [latex]\color{red}{x}[/latex] uvrstimo [latex]\color{red}{9}[/latex] i umjesto [latex]\color{blue}{y}[/latex] uvrstimo [latex]\color{blue}{4}[/latex],
dobit ćemo točnu jednakost jer je [latex]2 \cdot {\color{red}{9}}+ 3 \cdot {\color{blue}{4}}=30[/latex].
Kažemo da je uređeni par brojeva [latex](9, 4)[/latex] rješenje jednadžbe [latex]2x + 3y = 30[/latex].

No, je li to jedino rješenje?

Miljenka je mogla kupiti veliku i malu pernicu po cijeni od [latex]6[/latex] eura, što bi značilo da je trošak za dvije velike pernice iznosio [latex]12[/latex] eura, a za tri male pernice [latex]18[/latex] eura što ukupno daje [latex]30[/latex] eura. Dakle, i uređeni par brojeva [latex](6, 6)[/latex] jest rješenje jednadžbe [latex]2x + 3y = 30[/latex].

Premda očekujemo da velika pernica ima veću cijenu, ne mora biti tako. Možda je Miljenka kupila velike pernice na popustu, a male bez popusta, pa cijena male pernice može biti i veća od cijene velike pernice. 

Jedno od mogućih rješenja jednadžbe [latex]2x + 3y = 30[/latex] jest i uređeni par brojeva [latex](15, 0)[/latex] jer je [latex]2 · 15 + 3 · 0 = 30[/latex]. Međutim, je li vjerojatno da je cijena velike pernice [latex]15[/latex] eura, a da mala pernica stoji zapravo [latex]0[/latex] eura?

To bi eventualno bilo moguće da je Miljenka kupila samo dvije pernice, po cijeni od [latex]15[/latex] eura, i da je uz to dobila gratis tri male pernice. Ali u tom slučaju zapravo nije kupila male pernice.

Zaključujemo da u ovom konkretnom problemu [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex] mogu poprimiti samo pozitivne vrijednosti jer se radi o cijeni pernica.

Provjerimo jesu li uređeni parovi brojeva [latex](7, 2), (0, 4.8)[/latex] i [latex](–3, 4)[/latex] rješenja jednadžbe
[latex]2x + 5y = 24[/latex].

Kako se ne radi o zapisu konkretnog problema linearnom jednadžbom s dvjema nepoznanicama, nepoznanice [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex] mogu poprimiti bilo koju vrijednost.

U zadanu jednadžbu redom uvrstimo uređene parove i provjerimo vrijede li jednakosti.

[latex](7, 2)[/latex]                                     [latex] (0, 4.8)[/latex]                                    [latex](–3, 4)[/latex] 

[latex]2x + 5y = 24[/latex]    [latex]2x + 5y = 24[/latex]     [latex]2x + 5y = 24[/latex]

[latex]2 · 7 + 5 · 2 = 24[/latex]    [latex]2 · 0 + 5 · 4.8 = 24[/latex]   [latex]2 · (–3) + 5 · 4 = 14 ≠ 24[/latex]

To znači da su uređeni parovi [latex](7, 2)[/latex] i [latex](0, 4.8)[/latex] rješenja jednadžbe [latex]2x + 5y = 24[/latex], a uređeni par [latex](–3, 4)[/latex] nije rješenje zadane jednadžbe.

Promotrimo još jednom jednadžbu [latex]2x+3y=30[/latex] iz 2. primjera, ali izvan konteksta konkretnog problema s kupovinom pernica koji smo zapisali ovom jednadžbom.

Pitamo se ima li jednadžba [latex]\boldsymbol{2x+3y=30}[/latex] još rješenja, koliko ih ima i kako ih odrediti?

Izrazimo nepoznanicu [latex]y[/latex] iz jednadžbe [latex]2x+3y=30[/latex] uz pomoć nepoznanice [latex]x[/latex] kako bismo lakše odredili rješenje.

[latex]2x+3y=30[/latex]

[latex]3y=-2x+30\;/:3[/latex]

[latex]y=-\frac{2}{3}x+10[/latex]

Sada za bilo koji [latex]x[/latex], primjerice [latex]-3[/latex], [latex]12[/latex] i [latex]\frac{1}{2}[/latex], možemo izračunati odgovarajuće vrijednosti [latex]y[/latex]:

za [latex]x=-3[/latex]        za [latex]x=12[/latex]          za [latex]x=\frac{1}{2}[/latex]

[latex]y=-\frac{2}{3}\cdot (-3)+10[/latex]      [latex]y=-\frac{2}{3}\cdot 12+10[/latex]     [latex]y=-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}+10[/latex]

[latex]y=12[/latex]            [latex]y=2[/latex]           [latex]y=9\frac{2}{3}[/latex]

Primijetimo da smo vrijednost nepoznanice [latex]x[/latex] mogli birati na beskonačno mnogo načina. Za svaku odabranu vrijednost nepoznanice [latex]x[/latex] možemo izračunati odgovarajuću vrijednost nepoznanice [latex]y[/latex].

Stoga možemo zaključiti da linearna jednadžba s dvjema nepoznanicama ima beskonačno mnogo rješenja.

Napomenimo da smo zadatak mogli riješiti i tako da prvo nepoznanicu [latex]x[/latex] izrazimo uz pomoć nepoznanice [latex]y[/latex], a zatim birajući vrijednosti za [latex]y[/latex] izračunamo pripadajući [latex]x[/latex].