Izračunavanje duljina stranica pravokutnog trokuta

Uvod

Primjena Pitagorina poučka

Pokažimo kako ćemo primjenom Pitagorina poučka izračunati duljinu nepoznatog elementa pravokutnog trokuta i primijeniti Pitagorin poučak pri rješavanju problemske situacije.

Primjer 1.

U pravokutnom trokutu [latex]ABC[/latex] s pravim kutom pri vrhu   [latex]C[/latex] izračunajmo nepoznatu duljinu stranice ako je zadano:

a/ [latex]a = 7\:\text{cm i} b = 24\:\text{cm}[/latex],
b/ [latex]b = 21\:\text{cm i} c = 29\:\text{cm}[/latex].

Poznate podatke možemo uvrstiti u općenitu formulu Pitagorina poučka, s obzirom da se radi o pravokutnom trokutu.

Problem smo sveli na kvadratnu jednadžbu $$c^2=625$$. Rješenja te jednadžbe su:

$$c_{1}=25$$ i $$c_{2}=-25$$.

Pri izračunavanju duljina stranica zanemarujemo negativno rješenje kvadratne jednadžbe jer je duljina uvijek pozitivna.

Duljina hipotenuze tog pravokutnog trokuta je $$c=25\:\text{cm}$$.

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Primjer 2.

Zadatak 3.

Uvježbaj izračunavanje duljina nepoznatih stranica pravokutnog trokuta (duljine stranica izražene su u centimetrima) u digitalnoj vježbalici. Svaki točno riješeni zadatak boduje se s [latex]10[/latex] bodova, a svaki netočno riješeni zadatak s [latex]–5[/latex] bodova. Za početak nove vježbe klikni strelice u desnom gornjem uglu.

IZAZOV: Pokušaj osvojiti [latex]100[/latex] bodova u [latex]10[/latex] pokušaja tj. 10 zadataka!

Primjer 3.

Problem rješavamo primjenjujući Pitagorin poučak na oba pravokutna trokuta.

Očitamo duljinu stranice a koristeći se kvadratnom mrežom. Sliku dopunimo dvama pravokutnim trokutima kojima su [latex]b[/latex] i [latex]c[/latex] hipotenuze, pa primjenom Pitagorina poučka izračunamo njihovu duljinu.

Zadatak 4.

Primjer 4. 
Rješenje

[latex]b=300[/latex]
[latex]\underline{c=975}[/latex]
[latex]a=\;?[/latex]
[latex]a^2=c^2-b^2[/latex]
[latex]a^2=975^2-300^2[/latex]
[latex]a^2=860\:625[/latex]
[latex]a\approx927.699\approx928\;\text{m}[/latex]

Ako je riječ o primjeru iz svakodnevnog života, treba izračunati približnu vrijednost rezultata. Vrijednost zaokružujemo na onu kojom se za zadani podatak koristimo u životu.

Istraži

U prethodnim razredima smo naučili da se svakom trokutu može opisati kružnica. Kakva je to kružnica? Kako odrediti središte trokutu opisane kružnice?

Prisjeti se konstrukcije trokutu opisane kružnice u sljedećem interaktivnom apletu a zatim, pomičući vrhove trokuta tako da oblikuješ pravokutan trokut, istraži:
  • gdje se nalazi središte pravokutnom trokutu opisane kružnice,
  • u kakvom su odnosu duljine polumjera te kružnice i hipotenuze.

Nauči

Polumjer pravokutnom trokutu opisane kružnice jednak je polovini duljine hipotenuze.

[latex]r=\frac{c}{2}[/latex]

Zadatak 5.

Primjer 5.

Iz proporcije [latex]a : b = 7 : 24[/latex]

slijedi 

[latex]a = 7k[/latex]

[latex]b = 24k[/latex].

 

Primijenimo Pitagorin poučak i dobijemo kvadratnu jednadžbu s nepoznanicom [latex]k[/latex].

[latex]c^2 = a^2 + b^2[/latex] 

[latex]37.5^2= (7k)^2 + (24k)^2 [/latex]

[latex]1406.25 = 49k^2 + 576k^2 [/latex]

[latex]625k^2 = 1406.25 /: 625[/latex]

[latex]k^2 = 2.25  [/latex]

[latex]k = 1.5\;\text{cm}[/latex]

 

 

Izračunajmo duljine kateta.

[latex]a = 7 · 1.5\;\;\;\Rightarrow\ a = 10.5 \;\text{cm}[/latex]

[latex]b = 24 · 1.5\;\;\Rightarrow\ b = 36\;\text{cm}[/latex].

Obrat Pitagorina poučka

Želimo li za trokut s poznatim duljinama stranica [latex]a, b[/latex] i [latex]c[/latex] provjeriti je li pravokutan, pomaže nam sljedeća tvrdnja.

Nauči

Ako za trokut [latex]ABC[/latex] vrijedi formula [latex]c^2 = a^2 + b^2[/latex] pri čemu je [latex]c[/latex] duljina najdulje stranice, onda je taj trokut pravokutan.

Navedena tvrdnja naziva se OBRAT PITAGORINA POUČKA.

Primjer 6.

Provjerimo je li trokut sa zadanim duljinama stranica pravokutan.

a/ [latex]4\;\text{cm}[/latex], [latex]5\;\text{cm}[/latex], [latex]6\;\text{cm}[/latex]

Kvadrat duljine najdulje stranice treba biti jednak zbroju kvadrata duljina drugih dviju stranica.

$$6^2 = 4^2 + 5^2$$
$$36= 16 + 25$$
$$36 = 41$$ Netočno!

Trokut nije pravokutan.

b/  [latex]3\;\text{cm}[/latex],  [latex]3\;\text{cm}[/latex], [latex]3\sqrt{2}\;\text{cm}[/latex]

Kvadrat duljine najdulje stranice treba biti jednak zbroju kvadrata duljina drugih dviju stranica.

$$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 + 3^2$$
$$9 \cdot 2 = 9 + 9$$
$$18 = 18$$ Točno!

Trokut je pravokutan.

Provjeri svoje znanje

Riješi sljedeće zadatke i provjeri svoje znanje o primjeni i obratu Pitagorina poučka.