Pravokutnik

Uvod

Ana i Mihael su se razgovarali o televizoru koji imaju kod kuće. Ana je rekla da ima televizor duljine dijagonale [latex]40''[/latex], a Mihael da ima televizor dijagonale [latex]60''[/latex]. Ana misli da tako veliki televizor ne bi stao kod nje u dnevnu sobu jer ima samo [latex]130 \;\text{cm}[/latex] prostora. Mihael se čudio tome jer on misli da bi stao bez problema, ipak je to samo malo veći televizor. Ana mu je zatim objasnila da '' znači inč koji iznosi [latex]2.54 \;\text{cm} [/latex] i da sigurno ne može stati, ali Mihael je bio siguran da bi njegov televizor stao i kod Ane u dnevnu sobu.
Tko je bio u pravu Ana ili Mihael? Pogledaj na kraju nastave jedinice.

Zadatcima koje rješavamo s pomoću Pitagorina poučka pristupamo na sljedeći način:

  • uočimo pravokutni trokut
  • primijenimo Pitagorin poučak na pravokutni trokut.

Primjer 1.

 

 

Izračunaj duljinu dijagonale pravokutnika kojemu su duljine stranica [latex]3\;\text{ cm}[/latex] i [latex]72\;\text{ mm}[/latex]

[latex]\begin{aligned}a&=3\;\text{ cm} \\ b&=72\;\text{ mm} = 7.2 \;\text{ cm}\\ & \rule{3 cm}{0.4pt} \\ d&=?\end{aligned}[/latex]

Izračunaj duljinu dijagonale pravokutnika kojemu su duljine stranica [latex]\text{3 cm}[/latex] i [latex]\text{72 mm}[/latex].

[latex]\begin{aligned}a&=3\enspace \text{ cm} \\ b&=72\enspace \text{ mm} = 7.2 \enspace \text{ cm}\\ & \rule{3cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

Uočimo pravokutni trokut i primijenimo Pitagorin poučak.

[latex]d^2=3^2+7.2^2[/latex]

 

Izračunaj duljinu dijagonale pravokutnika kojemu su duljine stranica [latex]\text{3 cm}[/latex] i [latex]\text{72 mm}[/latex].

[latex]\begin{aligned}a&=3\enspace \text{ cm} \\ b&=72\enspace \text{ mm} = 7.2 \enspace \text{ cm}\\ & \rule{3cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

Uočimo pravokutni trokut i primijenimo Pitagorin poučak.

[latex]d^2=3^2+7.2^2[/latex]

 [latex]d^2=9+51.84[/latex]

 [latex]d^2=60.84[/latex]

 [latex]d=7.8 \enspace \text{ cm}[/latex]

Zadatak 1.

Primjer 2.

Izračunaj opseg i površinu pravokutnika, ako je duljina dijagonale pravokutnika [latex]\text{51 cm}[/latex], a duljina jedne stranice  [latex]\text{45 cm}[/latex]. 

[latex]\begin{aligned}d&=51\enspace \text{ cm} \\ a&=45\enspace \text{ cm}\\ & \rule{3 cm}{0.4pt} \\ O&=? \enspace P=?\end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{aligned}d&=51\enspace \text{ cm} \\ a&=45\enspace \text{ mm}\\ & \rule{3cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

Najprije trebamo izračunati duljinu druge stranice pravokutnika. Uočimo na skici pravokutan trokut i primijenimo Pitagorin poučak.

[latex]\begin{aligned}d&=51\enspace \text{ cm} \\ a&=45\enspace \text{ mm}\\ & \rule{3cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

[latex]b^2=51^2-45^2[/latex]

[latex]b^2=576[/latex]

[latex]b=24 \enspace \text{ cm}[/latex]

[latex]\begin{aligned}d&=51\enspace \text{ cm} \\ a&=45\enspace \text{ mm}\\ b&=24\enspace \text{ cm} \\& \rule{3cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

[latex]O=2\cdot(24+45)\\O=2\cdot69\\O=138\enspace \text{ cm}[/latex]

 

[latex]\begin{aligned}d&=51\enspace \text{ cm} \\ a&=45\enspace \text{ mm}\\ b&=24\enspace \text{ cm} \\& \rule{3cm}{0.4pt} \end{aligned}[/latex]

[latex]P=24\cdot45\\P=1080\enspace \text{ cm}^2[/latex]

 

 

 

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Na nogometnom treningu Josip je pretrčao [latex]\text{10}[/latex] krugova oko igrališta, a Ivan je pretrčao [latex]\text{25}[/latex] puta po dijagonali igrališta. Igralište je dugačko [latex]\text{108 m}[/latex] i široko [latex]\text{45 m}[/latex].

Tko je pretrčao više i za koliko?

Zanimljivosti

Televizor „mjerimo“ dijagonalom njegova ekrana koji je pravokutnog oblika. Starim su televizorima duljine stranica ekrana u omjeru [latex]\text{4 : 3}[/latex], a najčešći je omjer duljina stranica današnjih uređaja [latex]\text{16 : 9}[/latex]. Dijagonale današnjih ekrana uglavnom se iskazuju u inčima ([latex]\text{1''}[/latex] ≈ [latex]\text{2.54 cm}[/latex]).

Primjer 3.

Televizor kojemu su duljine stranica u omjeru [latex]\text{16 : 9}[/latex] ima duljinu dijagonale [latex]\text{50''}[/latex]. Odredi duljine stranica televizora i napiši ih u centimetrima.

Kako je omjer stranica televizora uvijek jednak. Moramo pronaći koeficijent s kojim ćemo ih pomnožiti kako bi dobili točnu duljinu stranica.
Zbog toga možemo pisati: 

Kako je omjer stranica televizora uvijek jednak. Moramo pronaći koeficijent s kojim ćemo ih pomnožiti kako bi dobili točnu duljinu stranica.
Zbog toga možemo pisati: 

[latex](16k)^2+(9k)^2=50^2[/latex]

 

Kako je omjer stranica televizora uvijek jednak. Moramo pronaći koeficijent s kojim ćemo ih pomnožiti kako bi dobili točnu duljinu stranica.
Zbog toga možemo pisati:

[latex](16k)^2+(9k)^2=50^2[/latex]

[latex]\begin{aligned}256k^2+81k^2 & =2500 \\ 337k^2 & =2500 \\ k^2 & \approx 7.42 \\ k & \approx 2.72 \end{aligned}[/latex]

 

Kako je omjer stranica televizora uvijek jednak. Moramo pronaći koeficijent s kojim ćemo ih pomnožiti kako bi dobili točnu duljinu stranica.
Zbog toga možemo pisati:

[latex](16k)^2+(9k)^2=50^2[/latex]

[latex]\begin{aligned}256k^2+81k^2 & =2500 \\ 337k^2 & =2500 \\ k^2 & \approx 7.42 \\ k & \approx 2.72 \end{aligned}[/latex]

Dakle, dužina televizora iznosi: [latex]16 \cdot 2.72 = 43.52''[/latex], u centimetrima to znači da je duljina [latex]43.52 \cdot 2.54 = 110.5 \text{ cm}[/latex]

Kako je omjer stranica televizora uvijek jednak. Moramo pronaći koeficijent s kojim ćemo ih pomnožiti kako bi dobili točnu duljinu stranica.
Zbog toga možemo pisati:

[latex](16k)^2+(9k)^2=50^2[/latex]

[latex]\begin{aligned}256k^2+81k^2 & =2500 \\ 337k^2 & =2500 \\ k^2 & \approx 7.42 \\ k & \approx 2.72 \end{aligned}[/latex]

Dakle, dužina televizora iznosi: [latex]16 \cdot 2.72 = 43.52''[/latex], u centimetrima to znači da je duljina [latex]43.52 \cdot 2.54 = 110.5 \text{ cm}[/latex]

Na isti način dobijemo i visinu televizora koja iznosi: [latex]9 \cdot 2.72=24.48''[/latex], a u centimetrima [latex]24.48 \cdot 2.54 =62.2 \;\text{cm}[/latex]. 

Zadatak 5.

Riješimo sada zadatak iz uvoda ove nastavne jedinice.

Ana i Mihael su se razgovarali o televizoru koji imaju kod kuće.
Ana je rekla da ima televizor duljine dijagonale [latex]\text{40''}[/latex], a Mihael da ima televizor dijagonale [latex]\text{60''}[/latex] Ana misli da tako veliki televizor kod nje ne bi ni stao u dnevnu sobu jer ima samo [latex]\text{130 cm}[/latex] prostora. Mihael se čudio tome jer on misli da bi stao bez problema, pa to samo malo veći televizor. Ana mu je zatim objasnila da '' znači inč koji iznosi [latex]\text{2.54 cm}[/latex] i da sigurno ne može stati, ali Mihael je bio siguran da bi njegov televizor stao i kod Ane u dnevnu sobu. Tko je bio u pravu Ana ili Mihael? Pogledaj na kraju nastave jedinice.

Zadatak 6.