Kvadrat

Uvod

Kada botaničari, ekolozi, studenti ili učenici žele saznati koliko biljka ima na određenom staništu prisiljeni su brojati manji reprezentativni dio kojeg zovu uzorak. Taj dio uzorka određuju pomoću kvadrata. Veličina kvadrata ovisi o vrsti istraživanja. Npr.za brojenje biljaka koje rastu na školskom dvorištu mogao bi se koristiti kvadrat sa stranicama [latex]0.5[/latex] ili [latex]1[/latex] metar. Kolika ja površina uzorka kojeg će učenici istražiti ako je dijagonala kvadrata [latex]1.5\:\sqrt[]{2}[/latex] metara?

Kako bi mogli odgovoriti na ovo pitanje primjenit ćemo Pitagorin poučak. Već smo prije ponovili da pravokutan trokut možemo pronaći u različitim likovima. Jedan od njih je i kvadrat.

Nauči

U kvadratu uočimo dva sukladna pravokutna trokuta. Na istaknuti trokut primjenimo Pitagorin poučak.

[latex]d^2=a^2+a^2[/latex]

Formulu možemo pojednostaviti kako slijedi:

[latex]d^2=2a^2[/latex]

[latex]d=\sqrt[]{2a^2}[/latex]

[latex]d=a\:\sqrt[]{2}[/latex]

Duljina dijagonale kvadrata:

[latex]d=a\:\sqrt[]{2}[/latex]

Primjer 1.

Izračunajmo nepoznatu duljinu dijagonale koju ćemo označiti s [latex]d[/latex] u kvadratu s duljinom stranice [latex]a[/latex].

Zadatak 1.

Primjer 2.

Izračunat ćemo nepoznatu veličinu stranice kvadrata ako je poznata dijagonala kvadrata.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Odgovori na pitanje iz uvoda:

Kolika ja površina uzorka kojeg će učenici istražiti ako je dijagonala kvadrata [latex]1.5\:\sqrt[]{2}[/latex] metara?

Zadatak 4.

Marija uobičajeno do kioska (na karti označen nazivom Tisak) ide dijagonalno preko parka. No danas mora prvo do cvjećarnice pa će tek tada otići do kioska. Koliki će put napraviti ako joj inače dijagonalno duljina puta iznosi [latex]170\:\sqrt[]{2}[/latex] [latex]\text{m}[/latex]. Prouči sliku mape i riješi zadatak.

Primjer 3.

Avion s aerodroma leti [latex]350[/latex] [latex]\text{km}[/latex] prema sjeveroistoku. Odredimo koliko će biti:

a/ sjevernije b/ istočnije

od aerodroma s kojeg je poletio.

Na skici vidimo da je sjeveristok otklonjen od sjevera i od istoka za [latex]45\degree[/latex]. Ruta kojom avion leti je dijagonalna, a plava i zelena dužina pomaci su aviona u smjeru sjevera i istoka. Problem ćemo riješiti tako da izračunamo duljine stranice kvadrata kojemu je poznata duljina dijagonale.

[latex]\underline{d=350\;\text{km}}[/latex]

[latex]a=?[/latex]

[latex]d=a\:\sqrt[]{2}[/latex]

[latex]350=a\:\sqrt[]{2}/\cdot\sqrt[]{2}[/latex]

[latex]350\:\sqrt[]{2}=2a/\colon2[/latex]

[latex]a=175\:\sqrt[]{2}\approx247.4873\;\text{km}[/latex]

Budući da je riječ o letu aviona, dovoljno je rješenje zaokružiti na kilometar.

Avion će biti [latex]247\;\text{km}[/latex] istočnije i [latex]247\;\text{km}[/latex] sjevernije od aerodroma iz kojeg je poletio.

Zadatak 5.

Uprava vrtića Mali zvrk odlučila je terasu pokriti umjetnom travom. Dobili su ponudu u kojoj je ponuđena trava u obliku kvadrata čija je dijagonala [latex]0.8\;\text{m}[/latex]. Koliko komada travnatih kvadrata trebaju za pokrivanje terase čija je površina [latex]50[/latex] [latex]\text{m}^2[/latex].

(Uputa: Pri izračunu rezultate zaokruži na dvije decimale.)