Jednakostranični trokut

Uvod

Obitelj Marić uredila je potkrovlje svoje kuće. Možeš li odrediti visinu potkrovlja ako potkrovlje u nacrtu (pogled sprijeda) ima oblik jednakostraničnog trokuta duljine stranice [latex]5\;\text{m}[/latex]?

Prouči

Nauči

U jednakostraničnom trokutu uočimo dva sukladna pravokutna trokuta. Na istaknuti trokut primijenimo Pitagorin poučak, a zatim izrazimo visinu jednakostraničnog trokuta uz pomoć duljine stranice.

[latex] v^2+\Big(\frac{a}{2}\Big)^2=a^2 [/latex]

[latex] v^2=a^2 - \Big(\frac{a}{2}\Big)^2[/latex]

[latex] v^2=a^2 - \frac{a^2}{4}[/latex]

[latex] v^2=\frac{3a^2}{4}[/latex]

[latex] \color{red}v=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/latex]

Primjer 1.

Primjer 2.

Zapamti: [latex] v=\frac{a\sqrt{3}}{2} [/latex]

Sljedeće zadatke riješimo na kraći način koristeći formulu za duljinu visine.

Zadatak 1.

[latex]v=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/latex]

[latex] v=\frac{8\sqrt{3}}{2} [/latex]

[latex] v=4\sqrt{3}\;\text{cm}[/latex]

Zadatak 2.

[latex]v=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/latex]

[latex] v=\frac{3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2} [/latex]

[latex] v=\frac{3\sqrt{6}}{2}\;\text{cm}[/latex]

Primjer 3.

Zadani je trokut jednakostraničan jer su svi kutovi istih mjera. Uvrstimo vrijednost visine u formulu za visinu jednakostraničnog trokuta, te izračunajmo duljinu stranice.

[latex] v=\frac{a\sqrt{3}}{2} [/latex]

[latex] 2\;\sqrt[]{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2} [/latex]

...

Površina jednakostraničnog trokuta

Znamo da je površina trokuta jednaka polovici umnoška duljine stranice i visine na tu stranicu, odnosno vrijedi:

[latex]P=\frac{a\cdot v}{2}[/latex]

Uvrstimo li u formulu za površinu trokuta [latex]P=\frac{a\cdot v}{2}[/latex] izraz za visinu [latex]v=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/latex] imamo:

[latex]P=\frac{a\cdot v}{2}[/latex]

[latex]P=\frac{a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}[/latex]

[latex]P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/latex]

Zapamtimo formulu za površinu jednakostraničnog trokuta izraženu uz pomoć duljine stranice [latex] a[/latex]:

[latex] P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/latex]

Primjer 4.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Na kuhinjskom su zidu pločice oblika pravilnog šesterokuta, položene kao na slici. Duljina stranice šesterokuta iznosi [latex]12\sqrt{3}\;\text{cm}[/latex]. Izračunaj duljinu crvene linije na zidu.

Primjer 5.

Ljestve naslonjene na zid udaljene su od zida [latex]75\;\text{cm}[/latex]. Koju visinu dosežu ljestve ako sa zidom zatvaruju kut od [latex]30°[/latex]?

Nacrtaj skicu zadatka u bilježnici i usporedi je sa skicom na sljedećoj kartici.

Za znatiželjne

Zadatak 5.

Staza na slici sastoji se od [latex]70[/latex] redova pločica. U svakom je redu ukupno [latex]16[/latex] smeđih i bijelih pločica koje su naizmjence posložene jedna do druge tako da im se dodiruju stranice. Svaka je pločica jednakostraničan trokut duljine stranice [latex]30\;\text{cm}[/latex]. Prva su i zadnja pločica u redu izrezane kako bi staza bila pravokutnoga oblika. Izračunajmo površinu staze.

Nacrtaj skicu zadatka u bilježnici i usporedi je sa skicom na sljedećoj kartici.

Nakon što si na prethodnim karticama odabrao točne odgovore izračunaj duljinu i širinu staze, te rješenje provjeri na sljedećoj kartici.

Teselacija- popločavanje ravnine

Staza u prethodnom zadatku popločena je pravilnim mnogokutima- jednakostraničnim trokutima. Iako je popločavanje površina intuitivno povezano sa svakodnevnim životom, problem popločavanja drevni je matematički problem. Riječ je o pojmu koji objašnjava kako razdijeliti ravininu na pravilne mnogokute koji bi je u potpunosti prekrivali bez praznina i preklapanja uz određene pravilnosti.

Popločavanje neke ravnine upotrebom jednog ili više sličnih oblika naziva se Teselacija.

Je li staza iz zadatka 5. primjer pravilne ili nepravilne Teselacije te tko je nizozemski umjetnik Escher možeš saznati u sljedećem zanimljivom video prikazu.