Razmjer - proporcija
Uvod
U šestom se razredu prvi puta spominje pojam omjer. Pogledaj sljedeći video i prisjeti se što je omjer.
Omjer veličina iste vrste
OMJER DVIJU VELIČINA [latex]a\;\text{i}\ b, b≠0[/latex], jest broj do kojega dolazimo dijeljenjem tih
veličina.
Zapisujemo ga u obliku [latex]\color{red}a : b[/latex] (čitaj: a prema b) ili u obliku [latex] \frac{a}{b} [/latex].
Omjer koristimo kada uspoređujemo dvije veličine, točnije, kada želimo ustanoviti koliko je puta jedna veličina veća ili manja od druge.
Na primjer, možeš li odrediti u kojem je omjeru broj klupa i broj stolica u tvojoj učionici ili u kojem je omjeru broj dječaka i broj djevojčica u tvome razredu?
Prethodni i sljedeći primjeri odnose se na veličine iste vrste. Kasnije ćemo spomenuti i omjer veličina različitih vrsta.
Zadatak 1.
Zadatak 2.
U školskoj se knjižnici nalazi [latex]125[/latex] matematičkih knjiga i [latex]5[/latex] vrsta matematičkih časopisa.
Svaki omjer možemo zapisati u obliku razlomka, količnika, decimalnog broja ili postotka.
Na primjer, [latex]1:5=\frac{1}{5}=0.2=20\;\%[/latex]
Primjer 1.
Omjer [latex]12 : 3[/latex] zapišimo u obliku razlomka, količnika, decimalnog broja i postotka.
Rješenje provjerimo na drugoj strani kartice.
[latex]12:3=\cfrac{4}{1}=4=4.0=400\;\%[/latex]
Primjer 2.
Omjer [latex]2 : 1.5[/latex] zapiši u obliku razlomka, količnika, decimalnog broja i postotka.
Rješenje provjeri na drugoj strani kartice.
[latex]2:1.5=\cfrac{2}{1.5}=\cfrac{20}{15}=\cfrac{4}{3}=1.333...≈133\%[/latex]
Primijeti da smo razlomak [latex]\cfrac{2}{1.5}[/latex] proširili brojem [latex]10[/latex], a zatim skratili brojem [latex]5[/latex].
ZAPAMTI: S omjerima postupamo jednako kao i sa razlomcima. Možemo ih proširiti i skratiti.
Ekvivalentni omjeri
Vrijednost omjera neće se promijeniti ako oba člana omjera pomnožimo ili podijelimo istim brojem različitim od nule. Takvi se omjeri nazivaju EKVIVALENTNI omjeri. Npr.:
[latex]2:1.5=20:15=4:3[/latex]
Zadatak 3.
Primjer 3.
Odredi racionalni broj k tako da vrijedi:
[latex]0.2:8=1:k[/latex]
Rješenje provjeri s druge strane kartice.
U drugom koraku primijeti da smo zadani omjer proširili brojem [latex]10[/latex], a potom skratili brojem [latex]2[/latex] i u oba koraka dobili ekvivalentne omjere.
[latex]0.2:8=1:k[/latex]
[latex]0.2:8=2:80=1:40[/latex]
[latex]k=40[/latex]
Nauči
Možemo uočiti da su ovi postupci rada zapravo drukčiji zapis proširivanja i skraćivanja razlomaka.
Zadatak 4.
Zadatak 5.
Zadatak 6.
Učenici viših razreda jedne osnovne škole rade na projektu "Boje". Karlo je proveo istraživanje o najomiljenijoj boji. Svi su učenici viših razreda sudjelovali u istraživanju. Učenicima su dane na izbor [latex]4[/latex] boje: narančasta, zelena, plava i lila. Rezultati istraživanja prikazani su na slici desno.
Odredi omjer učenika viših razreda koji su odabrali plavu boju i onih koji nisu odabrali plavu boju.
Omjer veličina različite vrste
Kada računamo omjere veličina različitih vrsta, njihove se jedinice neće skratiti, nego će omjer biti izražen u novoj jedinici koja je omjer početnih jedinica.
Automobil je za [latex]2 \;\text{h}[/latex] prešao [latex]150 \;\text{km}[/latex]. Omjer prijeđenog puta i proteklog vremena zapisujemo:
[latex]\frac{150\;\text{km}}{2 \;\text{h}}=\frac{75\;\text{km}}{1\;\text{h}}=75\;\text{\color{red}km/h}[/latex]
Omjer prijeđenoga puta i protekloga vremena naziva se brzina.
Brzinu mjerimo u m/s ili km/h.
Primjer 4.
Objekt se kreće brzinom od [latex]20\;\text{km/h}[/latex].
Kolika je njegova brzina u [latex]\;\text{m/s}[/latex]?
[latex]20\;\text{km/h}=\cfrac{20\;\text{km}}{1\;\text{h}}=\cfrac{20000\;\text{m}}{3600\;\text{s}}=\cfrac{200\;\text{m}}{36\;\text{s}}≈5.56\;\text{m/s}[/latex]
Primjer 5.
Brzina zvuka iznosi [latex]343\;\text{m/s}[/latex].
Kolika je njegova brzina u [latex]\;\text{km/h}[/latex]?
[latex]\cfrac{343\;\text{m}}{1\;\text{s}}=\cfrac{343\ \cdot\cfrac{1}{1000}\;\text{km}}{\cfrac{1}{3600}\;\text{h}}=\cfrac{\cfrac{343}{1000}\;\text{km}}{\cfrac{1}{3600}\;\text{h}}=[/latex]
Zapišimo sada dvojni razlomak kao količnik.
[latex]=\Bigg(\cfrac{343}{1000}:\cfrac{1}{3600}\Bigg)\;\text{km/h}=\Bigg(\cfrac{\ 343}{_{10}\ \cancel{1000}}\ \cdot\cfrac{\cancel{3600}\ ^{36}}{1}\Big)\;\text{km/h}=[/latex]
[latex] = 34.3\ \cdot 36\;\text{km/h}=1234.8\;\text{km/h}[/latex]
Zadatak 7.
Zadatak 8.
Zadatak 9.