Označavanje skupova

Što je skup?

U svakodnevnom životu, ali i u matematici, često se susrećemo s pojmom skupa. 

Skup predstavlja jednu cjelinu sastavljenu od predmeta (objekata) koji imaju neko zajedničko svojstvo. 

RAZMISLI... U kakve bi se još skupove mogli razvrstati zadani odjevni predmeti? Zašto su tvoj izbor bili upravo ti odjevni predmeti? Što je zajedničko odjevnim predmetima u svakom od oblikovanih skupova? Usporedi svoje primjere s primjerima prijatelja ili prijateljice iz razreda.

Označavanje skupa

Skupove označavamo tako da imena predmeta (objekata) od kojih je sastavljen zapišemo unutar vitičastih zagrada i odvojimo ih zarezima. Izdvojimo, primjerice, iz skupa odjevnih predmeta nekoliko onih koje nosimo zimi: jakna, kapa i šal. Taj skup nekih zimskih odjevnih predmeta zapisujemo: [latex]\left\{\right.[/latex]jakna, kapa, šal[latex]\left.\right\}[/latex].

Pritom redoslijed nabrajanja nije važan, pa smo mogli zapisati: [latex]\left\{\right.[/latex]šal, jakna, kapa[latex]\left.\right\}[/latex] i sl.

Skupove imenujemo velikim tiskanim slovima. Tako promatrani skup možemo kraće nazvati primjerice Z i zapisati: Z = [latex]\left\{\right.[/latex]kapa, jakna, šal[latex]\left.\right\}[/latex].

Elementi skupa

Vidjeli smo u dosadašnjim primjerima da se skup sastoji od predmeta (objekata) koji imaju neko zajedničko svojstvo. To su elementi ili članovi skupa i njih u zapisu skupa odvajamo zarezima. Tako su, primjerice, elementi skupa jednoznamenkastih brojeva manjih od 5 brojevi 1, 2, 3, 4.

Imenujmo taj skup npr. slovom A, pa imamo: A = {1,2,3,4}.

Činjenicu da je broj 1 element skupa A, a broj 7 nije zapisujemo ovako:

[latex]1 \in A[/latex]

čitamo: „Broj 1 je element od A” ili „Broj 1 pripada skupu A” ili „Broj 1 je član skupa A”

[latex]7 \notin A[/latex]

čitamo: „Broj 7 nije element od A” ili „Broj 7 ne pripada skupu A” ili „Broj 7 nije član skupa A”.

Broj elemenata skupa

Zapišimo uz pomoć vitičastih zagrada sljedeće skupove i odredimo im broj elemenata:
a) J je skup jednoznamenkastih brojeva.
b) V je skup neparnih brojeva.
c) C je skup brojeva manjih od 501.

Rješenje a)

J = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Skup J ima 9 elemenata.
Taj je skup konačan jer možemo prebrojiti koliko ima elemenata.

Rješenje b)

V = {1, 3, 5, 7, ...}
Taj je skup beskonačan jer ne možemo prebrojiti koliko ima elemenata. Tri točkice (na kraju) upotrebljavamo kada je jasno koji su sljedeći elementi skupa.

Rješenje c)

C = {1, 2, 3, ..., 498, 499, 500}
Skup C ima 500 elemenata.
Taj je skup konačan, a tri točkice (u sredini) upotrebljavamo kada je jasno koji su elementi skupa osim onih navedenih na početku i na kraju.

Razmisli...

Koliko elemenata ima skup
D = {3, 3, 5, 7, 7, 7}?

Taj skup ima 3 elementa jer se sastoji od brojeva 3, 5 i 7.

Svaki element skupa broji se jednom, bez obzira na broj ponavljanja.

Tako, primjerice, skup M = {m, a, m, a} ima 2 elementa jer se sastoji od slova m i a.

Zadatak 6.

U sljedećem zadatku uvježbaj razvrstavanje elemenata u zadane skupove, kao i zapis oblikovanih skupova. Za ponovno pokretanje klikni ikonu u desnom gornjem kutu apleta. Vježbu možeš ponoviti više puta jer se brojevi nasumično odabiru kao u „beskonačnoj” zbirci zadataka.

Tek kad točno riješiš prvi dio zadatka, možeš prijeći na drugi dio. Nakon završetka dobit ćeš povratnu informaciju o točnosti rješenja.

Za znatiželjne

Skupove možemo zadavati na različite načine. U prethodnim smo primjerima skupove zadavali na sljedeća dva načina:

  • Opisivanje elemenata koji čine skup.
    Npr. Skup jednoznamenkastih brojeva većih od dva ili skup parnih brojeva.
  • Nabrajanje elemenata skupa.
    Npr. S = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ili P = {2, 4, 6, ...}.

Skupove još možemo zadati i navođenjem karakterističnog svojstva koje određuje elemente skupa.

Navođenje karakterističnog svojstva

Nabrajanje elemenata skupa pogodan je način njegova zadavanja u slučaju kad skup nema velik broj elemenata ili ako je jasno od kojih se elemenata sastoji nakon što se navede nekoliko njegovih elemenata. Kad to nije slučaj, skup zadajemo tako da navedemo, tj. definiramo karakteristično svojstvo koje moraju zadovoljavati elementi da bi pripadali tomu skupu.

Primjer 1.
Želimo zadati skup A čiji su elementi svi trokuti.

PIŠEMO:
A = {x [latex]\mid [/latex] x je trokut} ili
A = {x : x je trokut}
Simbol | odnosno : čitamo „takvih da” ili „sa svojstvom”.

Primjer 2.
Zadan je skup D = {p | p je dan u tjednu}. Zapiši taj skup nabrajanjem njegovih elemenata.

RJEŠENJE:
D = {ponedjeljak, utorak, srijeda, četvrtak, petak, subota, nedjelja}.

Primjer 3.
Neka je P skup parnih brojeva većih od 10. Zapiši skup P navođenjem svojstava koje zadovoljavaju njegovi elementi.

RJEŠENJE:
P = {x | x je paran broj i x > 10}.

Primjer 4.
Zapiši skup S = {21, 23, 25, ...} navođenjem svojstva koje zadovoljavaju njegovi elementi.

RJEŠENJE:
S = {x | x je neparan broj i x > 20}.

Kratki kviz za znatiželjne

 Zadavanje skupova

Označavanje skupova

Uvod

 

Svi plodovi na fotografiji ubrajaju se u voće: jabuka, grožđe, limun, jagoda i kruška.

 

Na fotografiji su brokula, rajčica, paprika, krastavac i listovi peršina. Zajedničko im je da se ubrajaju u povrće.

Što je skup?

U svakodnevnom životu, ali i u matematici, često se susrećemo s pojmom skupa. Skup predstavlja jednu cjelinu sastavljenu od predmeta (objekata) koji imaju neko zajedničko svojstvo. Tako je, primjerice, na prvoj fotografiji u uvodnom primjeru skup nekih plodova koji se ubrajaju u voće, a na drugoj skup nekih plodova koji se ubrajaju u povrće. Kivi je uljez na trećoj fotografiji jer nije jaje.

Zadatak 1.

Sličice odjevnih predmeta rasporedi u dva skupa:

  • skup zimskih odjevnih predmeta
  • skup ljetnih odjevnih predmeta.

RAZMISLI... U kakve bi se još skupove mogli razvrstati zadani odjevni predmeti? Zašto su tvoj izbor bili upravo ti odjevni predmeti? Što je zajedničko odjevnim predmetima u svakom od oblikovanih skupova? Usporedi svoje primjere s primjerima prijatelja ili prijateljice iz razreda.

Zadatak 2.

Odvuci odgovarajuće predmete (objekte) u zadani skup.

Zadatak 3.

Pogledaj koji je predmet (objekt) prikazan i razmisli koje su njegove karakteristike. Odvuci odgovarajuće predmete (objekte) u zadani skup. 

Označavanje skupa

Skupove označavamo tako da imena predmeta (objekata) od kojih je sastavljen zapišemo unutar vitičastih zagrada i odvojimo ih zarezima. Izdvojimo, primjerice, iz skupa odjevnih predmeta nekoliko onih koje nosimo zimi: jakna, kapa i šal. Taj skup nekih zimskih odjevnih predmeta zapisujemo: [latex]\left\{\right.[/latex]jakna, kapa, šal[latex]\left.\right\}[/latex].

Pritom redoslijed nabrajanja nije važan, pa smo mogli zapisati: [latex]\left\{\right.[/latex]šal, jakna, kapa[latex]\left.\right\}[/latex] i sl.

Skupove imenujemo velikim tiskanim slovima. Tako promatrani skup možemo kraće nazvati, primjerice, [latex]\bm{Z}[/latex] i zapisati: [latex]\bm{Z}= \left\{\right.[/latex]kapa, jakna, šal[latex]\left.\right\}[/latex].

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Elementi skupa

Vidjeli smo u dosadašnjim primjerima da se skup sastoji od predmeta (objekata) koji imaju neko zajedničko svojstvo. To su elementi ili članovi skupa i njih u zapisu skupa odvajamo zarezima. Tako su, primjerice, elementi skupa jednoznamenkastih brojeva manjih od [latex]5[/latex] brojevi [latex]\{{1,2,3,4,5}\}[/latex]

Imenujmo taj skup npr. slovom [latex]\bm{A}[/latex], pa imamo: [latex]\bm{A}= \left\{\right.1[/latex], [latex]2[/latex], [latex]3[/latex], [latex]4[/latex] [latex]\left.\right\}[/latex].

Primjetimo da je broj [latex]1[/latex] element skupa [latex]\bm{A}[/latex]. Zapišimo.

[latex]1 \in A[/latex]

čitamo:

      • „Broj [latex]1[/latex] je element od [latex]\bm{A}[/latex]”
      • „Broj  [latex]1[/latex]  pripada skupu [latex]\bm{A}[/latex]”
      • „Broj [latex]1[/latex] je član skupa [latex]\bm{A}[/latex]”.

Primjetimo da broj [latex]7[/latex] nije element skupa [latex]\bm{A}[/latex]. Zapišimo.

[latex]7 \notin A[/latex]

čitamo:

  • „Broj [latex]7[/latex] nije element od [latex]\bm{A}[/latex]”
  • „Broj [latex]7[/latex]  ne pripada skupu [latex]\bm{A}[/latex]”
  • „Broj [latex]7[/latex]  nije član skupa [latex]\bm{A}[/latex]”.

Broj elemenata skupa

Primjer 1.

Zapišimo koristeći skupovne oznake skup [latex]J[/latex], skup jednoznamenkastih brojeva.

Odredimo mu broj elemenata.

Jednoznamenkasti brojevi jesu brojevi: [latex]1\text{, }2\text{, }3\text{, }4\text{, }5\text{, }6\text{, }7\text{, }8\text{, }9[/latex]. 

Zapišimo skup [latex]J[/latex] koristeći skupovne oznake.

[latex]J=[/latex] {[latex]1\text{, }2\text{, }3\text{, }4\text{, }5\text{, }6\text{, }7\text{, }8\text{, }9[/latex]}.

[latex]J=\{{1,2,3,4,5,6,7,8,9}\}[/latex]

Prebrojimo skup [latex]J[/latex].

Skup [latex]J[/latex] ima [latex]\bm{9}[/latex] elemenata.


Taj je skup konačan jer možemo prebrojiti koliko ima elemenata.

Primjer 2.

Zapišimo koristeći skupovne oznake skup [latex]V [/latex], skup neparnih brojeva. 

Odredimo mu broj elemenata.

Neparni brojevi jesu brojevi: [latex]1\text{, }3\text{, }5\text{, }7\text{... }[/latex].

Zapišimo skup [latex]V [/latex] koristeći skupovne oznake.

[latex]V = [/latex] {[latex]1\text{, }3\text{, }5\text{, }7\text{... }[/latex]}.

Taj je skup beskonačan jer ne možemo prebrojiti koliko ima elemenata. Tri točkice (na kraju) upotrebljavamo kada je jasno koji su sljedeći elementi skupa.

Primjer 3.

Koristeći skupovne oznake zapišimo skup brojeva manjih od [latex]501[/latex], označenog sa [latex]C[/latex].

Odredimo mu broj elemenata.

Brojevi manji od [latex]501[/latex] jesu brojevi od [latex]1[/latex] do [latex]500[/latex].

Zapišimo skup [latex]C[/latex] koristeći skupovne oznake.

[latex]C =[/latex] {[latex]1\text{, }2\text{, }3\text{, }4...\text{ }499\text{, }500[/latex]}

Skup [latex]C [/latex] ima [latex]500[/latex]  elemenata.

Taj je skup konačan, a tri točkice (u sredini) upotrebljavamo kada je jasno koji su elementi skupa osim onih navedenih na početku i na kraju.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Koliko elemenata ima skup

[latex]D=[/latex] {[latex]{3,3,5,7,7,7}[/latex]}?

Taj skup ima [latex]3[/latex] elementa jer se sastoji od brojeva [latex]3[/latex], [latex]5[/latex] i [latex]7[/latex].

Svaki element skupa broji se jednom, bez obzira na broj ponavljanja.

Tako primjerice, skup [latex]M=[/latex]{[latex]{m,a,m,a}[/latex]} ima [latex]2[/latex] elementa jer se sastoji od slova [latex]m[/latex] i [latex]a[/latex].

Razmisli...

Koliko elemenata ima skup

[latex]D=[/latex] {[latex]{3,3,5,7,7,7}[/latex]}?

Taj skup ima [latex]3[/latex] elementa jer se sastoji od brojeva [latex]3[/latex], [latex]5[/latex] i [latex]7[/latex].

Svaki element skupa broji se jednom, bez obzira na broj ponavljanja.

Tako primjerice, skup [latex]M=[/latex]{[latex]{m,a,m,a}[/latex]} ima [latex]2[/latex] elementa jer se sastoji od slova [latex]m[/latex] i [latex]a[/latex].

Zadatak 8.

Zadatak 9.

U sljedećem zadatku uvježbaj razvrstavanje elemenata u zadane skupove, kao i zapis oblikovanih skupova. Za ponovno pokretanje klikni ikonu u desnom gornjem uglu apleta. Vježbu možeš ponoviti više puta jer se brojevi nasumično odabiru kao u „beskonačnoj” zbirci zadataka.

Tek kad točno riješiš prvi dio zadatka, možeš prijeći na drugi dio. Nakon završetka dobit ćeš povratnu informaciju o točnosti rješenja.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Za znatiželjne

Skupove možemo zadavati na različite načine. U prethodnim smo primjerima skupove zadavali na sljedeća dva načina:

  • Opisivanje elemenata koji čine skup.
    Npr. Skup jednoznamenkastih brojeva većih od dva ili skup parnih brojeva.
  • Nabrajanje elemenata skupa.
    Npr. [latex]S=[/latex] {[latex]{3,4,5,6,7,8,9}[/latex]}  ili  [latex]P=[/latex] {[latex]{2,4,6, ...}[/latex]} 

Skupove još možemo zadati i navođenjem karakterističnog svojstva koje određuje elemente skupa.

Navođenje karakterističnog svojstva

Nabrajanje elemenata skupa pogodan je način njegova zadavanja u slučaju kad skup nema velik broj elemenata ili ako je jasno od kojih se elemenata sastoji nakon što se navede nekoliko njegovih elemenata. Kad to nije slučaj, skup zadajemo tako da navedemo, tj. definiramo karakteristično svojstvo koje moraju zadovoljavati elementi da bi pripadali tomu skupu.

Primjer 1.
Želimo zadati skup A čiji su elementi svi trokuti.

PIŠEMO:
A = {x [latex]\mid [/latex] x je trokut} ili
A = {x : x je trokut}
Simbol | odnosno : čitamo „takvih da” ili „sa svojstvom”.

Primjer 2.
Zadan je skup D = {p | p je dan u tjednu}. Zapiši taj skup nabrajanjem njegovih elemenata.

RJEŠENJE:
D = {ponedjeljak, utorak, srijeda, četvrtak, petak, subota, nedjelja}.

Primjer 3.
Neka je P skup parnih brojeva većih od 10. Zapiši skup P navođenjem svojstava koje zadovoljavaju njegovi elementi.

RJEŠENJE:
P = {x | x je paran broj i x > 10}.

Primjer 4.
Zapiši skup S = {21, 23, 25, ...} navođenjem svojstva koje zadovoljavaju njegovi elementi.

RJEŠENJE:
S = {x | x je neparan broj i x > 20}.

Kratki kviz za znatiželjne

 Zadavanje skupova