Distributivnost množenja prema zbrajanju i oduzimanju
Uvod
Naravno da kvadratiće možemo vrlo jednostavno prebrojiti, ali mi ćemo se poslužiti matematičkim zapisom i računanjem kako bismo odgovorili na pitanje.
Plavi kvadratići složeni su u 2 reda i u svakom su redu 3 kvadratića, dakle
plavih je kvadratića 2 ⋅ 3.
Crveni kvadratići složeni su također u 2 reda, a u svakom su redu 4 kvadratića, dakle
crvenih je kvadratića 2 ⋅ 4.
Ukupno tako imamo
2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4
= 6 + 8
= 14 kvadratića.
No mogli smo to izračunati i drukčije.
Mi želimo prebrojiti ukupan broj kvadratića i njihova nam boja na kraju ne igra nikakvu ulogu.
Ako zanemarimo boju kvadratića, možemo reći kako su nam kvadratići složeni u 2 reda i u svakom imamo 3 + 4 kvadratića (3 plava i 4 crvena).
Tada možemo pisati
2 ⋅ (3 + 4)
= 2 ⋅ 7
= 14 kvadratića.
I ovim načinom računanja došli smo do istog rezultata.
Stoga vrijedi
2 ⋅ (3 + 4) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4
Za svaka 3 broja , uzmimo naše brojeve iz uvoda za primjer, vrijedi
2 ⋅ (3 + 4) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4
To svojstvo naziva se
distributivnost množenja prema zbrajanju.
Kažemo još da smo u izrazu
2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4
izlučili zajednički faktor 2.
Primijetimo da pri izračunavanju izraza 2 · 3 + 2 · 4 trebamo dva puta množiti i jednom zbrajati.
Nakon izlučivanja dobivamo izraz 2 · (3 + 4) u kojem trebamo samo jednom množiti i jednom zbrajati.
No distributivnost množenja vrijedi i prema oduzimanju.
5 ⋅ 4 - 5 ⋅ 2 = 5 ⋅ (4 - 2)
Dakle,
množenje je distributivno i prema zbrajanju i prema oduzimanju.
Zadatak 1.
Zadatak 2.
Zadatak 3.
Zadatak 4.
Zadatak 5.
Zadatak 6.
Primjer 1.
Izračunaj koliko je srca Nataša nalijepila na pismo (primjenjujući svojstvo distributivnosti i ne primjenjujući ga).
Rješenje:
U gornjem lijevom kutu imamo 2 reda s po 8 srca.
Dakle, ima ih 2 ⋅ 8.
U donjem lijevom kutu imamo 2 reda s po 6 srca, dakle 2 ⋅ 6.
U gornjem desnom kutu imamo 2 reda s po 4 srca, dakle 2 ⋅ 4.
I u donjem desnom kutu imamo 2 reda s po 14 srca, dakle 2 ⋅ 14.
Ukupno imamo
2 ⋅ 8 + 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 14
Ako nećemo koristiti distributivnost, tada ćemo izračunati koliko je srca u pojedinoj skupini, tj. prvo ćemo ozračunati umnoške, a potom ih zbrojiti:
= 16 + 12 + 8 + 28
= 64
Ako ćemo primijeniti distributivnost množenja, tada ćemo prvo izlučiti zajednički faktor.
= 2 ⋅ (8 + 6 + 4 + 14)
= 2 ⋅ 32
= 64
Dakle, Nataša je nalijepila ukupno 64 srca.
Zadatak 7.
Zadatak 8.
Nauči
Pokušajmo napamet izračunati
6 ⋅ 14
U tablici množenja, koju znamo napamet, faktori nisu veći od 10, a ovdje imamo faktor 14.
Kako onda ovo izračunati bez pisanog množenja?
14 = 10 + 4
Rastavili smo ovaj dvoznamenkasti broj na desetice i jedinice.
I što ćemo sad? Kako to upotrijebiti?
Zapišimo početni zadatak malo drukčije.
6 ⋅ 14 = 6 ⋅ (10 + 4)
Sad nam u pomoć dolazi distributivnost množenja prema zbrajanju.
6 ⋅ (10 + 4) = 6 ⋅ 10 + 6 ⋅ 4
= 60 +24
= 84
Pa ovo je zapravo lako.
Pogledajmo još jedan primjer.
5 ⋅ 34 = 5 ⋅ (30 +4)
= 5 ⋅ 30 + 5 ⋅ 4
= 150 + 20
= 170
Zadatak 9.
Nauči
Pojednostavni izraz.
3 ⋅ x + 10 ⋅ x - 2 ⋅ x
Primjećujemo kako ovdje zbrajamo i oduzimamo umnoške koji imaju zajednički faktor x, dakle možemo primijeniti distributivnost množenja te taj zajednički faktor izlučiti.
3 ⋅ x + 10 ⋅ x - 2 ⋅x
= (3 + 10 - 2) ⋅x
= 11 ⋅ x
Ovaj izraz možemo zapisati i kraće.
Kod množenja broja i nepoznanice ne moramo pisati znak množenja.
11 ⋅ x = 11x
U gornjem sređenom izrazu sad možemo i tražiti da se izračuna njegova vrijednost za neki zadani broj.
Izračunaj vrijednost izraza 11x za x = 5.
To znači da umjesto broja x uvrstimo broj 5.
Pazi, između broja 11 i broja x stoji znak množenja.
11x = 11 ⋅ 5 = 55