Kugla

Uvod

Kojeg su oblika naše Sunce i naš planet Zemlja? Jeste li se ikada zapitali koliko je veliko Sunce..?

Pogledajte video i saznajte odgovore na ta pitanja, te se podsjetite zašto je Sunce važno za život na Zemlji.

U nastavku ćete naučiti osnovna svojstva kugle, geometrijskog tijela oblika poput Sunca.

Nauči

Skup svih točaka prostora koje su od istaknute točke [latex]S[/latex] udaljene za isti iznos [latex]r[/latex] naziva se SFERA. Dio prostora omeđen sferom naziva se KUGLA. Točka [latex]S[/latex] naziva se središte kugle (sfere).

Prouči

Prouči sljedeće slike i uoči vezu između kružnice i sfere, te kruga i kugle.

Svaka dužina koja spaja središte [latex]S[/latex] i neku točku sfere je polumjer sfere. Ona je ujedno i polumjer kugle. Sfera sa središtem [latex]S[/latex] i radijusom [latex]r[/latex] omeđuje kuglu sa središtem [latex]S[/latex] i radijusom [latex]r[/latex].

Promjer sfere (kugle) je dužina koja prolazi njezinim središtem i spaja dvije točke sfere.

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Istraži: presjek sfere i kugle s ravninom

Istražite što nastaje kao presjek ravnine i sfere, a što kao presjek ravnine i kugle. Za bolju vizualizaciju okrećite kuglu u 3D grafičkom prikazu i koristite gume za različite poglede, odnosno prikaze kugle u prostoru.

Presjek ravnine i sfere je kružnica.

Presjek ravnine i kugle je krug.

Taj je krug najveći ako ravnina sadrži središte kugle. Tada presječeni krug ima isto središte i radijus kao i kugla i zove se glavni krug.
Kružnica koja omeđuje taj krug, odnosno kružnica u kojoj ravnina tada siječe sferu, naziva se glavna kružnica sfere.

Glavni krug je najveći krug kugle i ima isto središte i radijus kao i kugla.

Glavna kružnica je kružnica koja omeđuje glavni krug kugle.

Zadatak 3.

Primjer 1.

Ravnina presjeca kuglu polumjera [latex]r=25\;\text{cm}[/latex] na udaljenosti
[latex]d=15\;\text{cm}[/latex] od središta kugle.

Odredimo površinu presjeka kugle i ravnine.

Presjek kugle i ravnine je krug. Kako zadana ravnina presjeca kuglu na udaljenosti [latex]15\;\text{cm}[/latex] od središta, znači da ta ravnina ne prolazi središtem kugle i njezin presjek s kuglom nije glavni krug kugle, već krug koji je [latex]15\;\text{cm}[/latex] iznad ili ispod njezinog središta.

Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut [latex]SS_1C[/latex] izračunamo duljinu polumjera kruga.

[latex]r^2=d^2+r_1^2[/latex]
[latex]25^2=15^2+r_1^2[/latex]
[latex]r_1^2=25^2-15^2[/latex]
[latex]r_1^2=400\;\text{cm}^2[/latex]

Izračunajmo površinu kruga.

[latex]p=r_1^2\pi[/latex]
[latex]p=400\pi\;\text{cm}^2[/latex]

Površina presjeka kugle i ravnine (kruga) iznosi [latex]400\pi\;\text{cm}^2[/latex].

Primjer 2. Presjek čokoladne kuglice

RJEŠENJE

Martina zapravo treba odrediti na kojoj udaljenosti od glavnog kruga treba prerezati kuglicu tako da površina tog presjeka bude jednaka [latex]\frac{2}{3}[/latex] površine glavnog kruga. Zato ćemo najprije izračunati površinu glavnog kruga kako bismo odredili površinu presjeka.

[latex]\underline{2r=4.8\;\text{cm}, \; r=2.4\;\text{cm}}[/latex]
[latex]p=p\text{ (glavnog\;kruga)}=\;?[/latex]
[latex]p_1=p\text{ (presjeka)}=\;?[/latex]
[latex]p=r^2\pi[/latex]
[latex]p=2.4^2\pi[/latex]
[latex]p=5.76\pi\;\text{cm}^2[/latex]

[latex]p_1=\frac{2}{3}p[/latex]
[latex]p_1=\frac{2}{3}\cdot 5.76\pi[/latex]
[latex]p_1=3.84\pi\;\text{cm}^2[/latex]

Iz površine presjeka možemo odrediti duljinu njegovog polumjera.

[latex]p_1=r_1^2\pi[/latex], pa uvrštavanjem površine dobijemo [latex]3.84\pi=r_1^2\pi[/latex],
odakle je [latex]r_1^2=3.84[/latex], pa je [latex]r_1\approx 1.96\;\text{cm}[/latex]

[latex]r^2=d^2+r_1^2[/latex]
[latex]2.4^2=d^2+1.96^2[/latex]
[latex]d^2=5.76-3.84[/latex]
[latex]d^2=1.92[/latex]
[latex]d\approx 1.39\; \text{cm}[/latex]

Martina mora prerezati čokoladnu kuglicu na udaljenosti približno [latex]1\;\text{cm}[/latex] i [latex]4\;\text{mm}[/latex] od njezinog središta.

Oplošje kugle

Mreža kugle

Kugla je jedino geometrijsko tijelo za koje je teško napraviti mrežu i sastaviti je u kuglu. Možemo zamisliti kako izgleda mreža kugle, ali bi nam bilo teško praktički izraditi 3D model iz mreže.

Istražite 3D model sfere u interaktivnom apletu. Okrećite model u 3D grafičkom prikazu kako biste ga pogledali s različitih strana. Pokušajte zamisliti kako bi izgledala sfera (kuglina ploha) kada bi bila od papira i kada bismo je razrezali i razvili u jednu ravninu...

Oplošje kugle

U poglavlju „Za znatiželjne” prouči opis pokusa koji možeš izvesti kod kuće i provjeriti da je oplošje kugle četiri puta veće od površine njezinog glavnog kruga.

Oplošje kugle odnosno površina kugline plohe (sfere) duljine polumjera [latex]r[/latex] iznosi [latex]O=4r^2\pi[/latex].

Istraži: volumen kugle

Istražite odnos volumena kugle polumjera [latex]r[/latex] i volumena valjka s istim polumjerom i visinom jednakom promjeru kugle, [latex]h[/latex] = 2[latex]r[/latex].

Razmislite o postavljenim pitanjima i uočite koliki dio volumena valjka čini volumen kugle.

Volumen kugle duljine polumjera [latex]r[/latex] iznosi [latex]V=\frac{4}{3}r^3\pi[/latex].

Primjer 3.

a/ Izračunajmo oplošje i volumen kugle radijusa [latex]12\;\text{cm}[/latex].

[latex]O=4r^2\pi[/latex] pa uvrštavanjem radijusa dobijemo [latex]O=4\cdot 12^2\pi[/latex]
[latex]O=4\cdot 144\pi[/latex] [latex]O=576\pi\;\text{cm}^2[/latex].

[latex]V=\frac{4}{3}r^3\pi[/latex]
[latex]V=\frac{4}{3}\cdot 12^3\pi[/latex]
[latex]V=\frac{4}{3}\cdot 1728\pi[/latex]
[latex]V=2304\pi\;\text{cm}^3[/latex].

c/ Površina glavnog kruga kugle iznosi [latex]49\pi\;\text{cm}^2[/latex]. Izračunajmo oplošje te kugle.

Oplošje kugle je četiri puta veće od površine njezinog glavnog kruga.

[latex]O=4\cdot 49\pi[/latex]
[latex]O=196\pi\;\text{cm}^2[/latex]

b/ Oplošje kugle iznosi [latex]100\pi \; \text{cm}^2[/latex]. Koliki je obujam te kugle?

Prvo izračunamo duljinu polumjera kugle.

Uvrstimo zadano oplošje u formulu za oplošje i iz dobivene jednadžbe izračunamo polumjer.
[latex]O=4r^2\pi[/latex]
[latex]100\pi=4r^2\pi[/latex]
[latex]4r^2=100[/latex] odakle je
[latex]r=5\;\text{cm}[/latex].

[latex]V=\frac{4}{3}r^3\pi[/latex]
[latex]V=\frac{4}{3}\cdot 5^3\pi[/latex]
[latex]V=\frac{4}{3}\cdot 125\pi[/latex]
[latex]V\approx 166.7\pi\;\text{cm}^3[/latex].

d/ Volumen kugle iznosi [latex]V=288\pi\;\text{dm}^3[/latex]. Koliko je oplošje te kugle?

Uvrstimo zadani volumen u formulu za volumen i iz dobivene jednadžbe izračunamo polumjer.

[latex]V=\frac{4}{3}r^3\pi[/latex]
[latex]288\pi=\frac{4}{3}r^3\pi[/latex]
[latex]\frac{4}{3}r^3=288\;/\cdot \frac{3}{4}[/latex]
[latex]r^3=216[/latex]
[latex]r^3=6\cdot 6\cdot 6=6^3[/latex]
[latex]r=6\;\text{dm}[/latex].

[latex]O=4r^2\pi[/latex]
[latex]O=4\cdot 6^2\pi[/latex]
[latex]O=144\pi\;\text{dm}^2[/latex].

Zadatak 4.

Uvježbaj izračun oplošja i volumena kugle. Zadaci se generiraju nasumično kao u beskonačnoj zbirci zadataka. Riješi pojedini zadatak u bilježnicu i klikom na odgovarajući potvrdni okvir provjeri svoje rješenje.

Ako je potrebno oplošje i volumen zaokruži na dvije decimale. Za broj [latex]\pi[/latex] upotrijebi približnu vrijednost [latex]\pi\approx 3.14[/latex].

Za znatiželjne

Izvedi sljedeći pokus i provjeri formulu za oplošje kugle.